Základy kinematiky
Přihlásit se
Základy kinematiky (11/19) · 14:10

Průměrná rychlost při konstantním zrychlení Výpočet průměrné rychlosti pokud je zrychlení konstantní.

Cílem tohoto videa je prozkoumat několik konceptů nebo rovnic, které jste mohli vidět v hodině fyziky, ale hlavně vám ukázat, že většina z nich se dá pochopit obyčejným selským rozumem. Začněme nějakým jednoduchým příkladem. Řekněme... A pro účely tohoto videa, abych nemusel stále říkat „tohle je velikost rychlosti, tohle její směr“ atd., předpokládejme, že pokud mám kladné číslo, tak to znamená... Například když mám kladnou rychlost, tak to znamená, že jdu doprava, a když mám záporné číslo, což v tomto videu neuvidíme, tak se pohybuji doleva. Tak můžu jednoduše napsat číslo – pracujeme jen v jednom rozměru – a budete vědět, že udává jak velikost, tak směr. Když řeknu, že rychlost byla 5 metrů za sekundu, tak to znamená 5 metrů za sekundu doprava. Když řeknu minus 5 metrů za sekundu, tak to znamená 5 metrů za sekundu doleva. Řekněme pro jednoduchost, že začínáme s počáteční rychlostí 5 metrů za sekundu. Ještě jednou – tak je určena jak velikost, tak směr, díky této konvenci. Víme, že to je směr doprava. A řekněme, že máme konstantní zrychlení 2 metry za sekundu za sekundu neboli 2 metry za sekundu na druhou. Tato hodnota je opět kladná, takže vektor směřuje doprava. A řekněme, že to děláme po dobu... Takže změna v čase je... Řekněme, že to děláme po dobu 4 sekund. ...použiji tady jen 's', 's' v tomto videu znamená sekundy... Teď chci popřemýšlet nad tím, jak daleko docestujeme. Jsou tu dva faktory. Jak daleko... Jak rychle po 4 sekundách jdeme a jakou vzdálenost jsme ušli během těch 4 sekund. Nakresleme si tedy graf. Tohle je osa rychlosti a tohle je osa času. ...nakreslím tu čáru rovnější... Tohle je tedy moje časová osa, tady je rychlost a začínám na rychlosti 5 m/s. Tohle je 5 m/s. Takže počáteční rychlost ‘vi’ je rovna 5 m/s. A pak po každé sekundě půjdu o 2 m/s rychleji, protože je to 2 metry za sekundu za sekundu. Takže po každé sekundě... Po 1 sekundě půjdu o 2 m/s rychleji. Takže budu na 7 m/s. Nebo to můžeme vidět tak, že směrnice křivky představuje toto konstantní zrychlení. Mám tu konstantní směrnici, takže by to mohlo vypadat nějak takto. Co se tedy stalo po 4 sekundách? 1...2...3...4... Tohle je tedy delta 't', změna v čase. Moje výsledná rychlost tedy bude zde. ...napíšu to sem dolů, protože tu překáží slovo 'rychlost'... Toto ‘vf’ je tedy konečná rychlost. A kolik bude? Začínám na 5 m/s... Ukážu to oběma způsoby, užitím proměnných i konkrétních čísel. Začínám na nějaké počáteční rychlosti. ...dolní index ‘i’ znamená initial (počáteční)... A pak po každé sekundě jdu o tolik rychleji. Pokud tedy chci vidět, o kolik jsem zrychlil, vynásobím počet sekund, které uplynou, zrychlením. A ještě jednou, tady... Napsal jsem index ‘c’ pro označení konstantního zrychlení. To mi tedy řekne, jak rychle jsem šel. Pokud začnu v tomto bodě a vynásobím dobu trvání hodnotou směrnice, dostanu se takhle vysoko, získám svou konečnou rychlost. A jen abychom si ujasnili ta čísla. Tato čísla můžou být jakákoli. Vybral jsem je jen proto, abych vám to trochu konkretizoval. Máte 5 m/s plus 4 sekundy ...udělám to žlutou... plus 4 sekundy krát zrychlení 2 metry za sekundu na druhou. Čemu se to bude rovnat? Sekundy se pokrátí s jedněmi sekundami tady dole. Máte 4 krát... ...napíšu to... Máte 5 metrů za sekundu plus 4 krát 2, tj. 8, 8, tyhle sekundy jsou pryč, takže nám zbývá 8 m/s. To je 13 m/s, což je konečná rychlost. Tady bych se chtěl na chvíli zastavit a popřemýšlet. Tohle by mělo být intuitivní. Začínáme na 5 m/s. Po každé sekundě půjdeme o 2 m/s rychleji. Takže po 1 sekundě budeme na 7 m/s, po 2 sekundách budeme na 9 m/s, po 3 sekundách budeme na 11 m/s. A nakonec po 4 sekundách budeme na 13 m/s. Vynásobíte uplynulý čas zrychlením a to nám určí, o kolik rychleji půjdeme. Jdeme již rychlostí 5 m/s, 5 plus o kolik rychleji, 13 m/s. Tohle tady nahoře je tedy 13 m/s. Tady bych se na chvíli zastavil, doufám, že tohle intuitivně chápete. Cílem je ukázat vám, že tento vzorec, který často uvidíte v učebnicích fyziky, není něco, co se jen tak vynořilo ze vzduchu. Ve skutečnosti to dává smysl. Další věc, o které bych rád mluvil, je výpočet celkové vzdálenosti, kterou bychom urazili. Z minulého videa víme, že dráha je jednoduše obsah plochy pod touto křivkou. Je to plocha pod touto křivkou. Tohle je ovšem nějaký divný tvar, jak spočítáme jeho obsah? Můžeme prostě použít jednoduchou geometrii a rozdělit jej do dvou částí, u kterých vypočítáme obsah velice snadno, do dvou jednoduchých tvarů. Můžete jej rozdělit na tuto modrou část, tenhle obdélník. Vypočítat obsah obdélníku je snadné. A můžeme ho rozdělit na tuhle fialovou část, což je trojúhelník. Vypočítat obsah trojúhelníku je také snadné. A to bude celková uražená vzdálenost. Doufám, že i tohle je intuitivně jasné. Tahle modrá část odpovídá překonané vzdálenosti, pokud bychom nezrychlovali. Pokud bychom prostě 4 sekundy šli rychlostí 5 m/s. Pokud byste šli 5 m/s krát... ...tady jsou 1..2..3..4 sekundy... Začínáte v čase 0 a končíte v čase 4 sekundy, váš rozdíl v čase je 4 sekundy, takže pokud jdete 4 sekundy rychlostí 5 m/s, ujdete 20 metrů. Tohle je 20 metrů. Tohle je odpovídající obsah, 5 krát 4. Tahle purpurová nebo asi rudá plocha vám říká, o kolik dál se dostanete díky zrychlení – protože jdete stále rychleji a rychleji. Vypočítat tento obsah je velice jednoduché. Základna je 5, protože odpovídá 5 sekundám (SPRÁVNĚ 4). A jaká je výška? Výška je konečná rychlost minus počáteční rychlost. Neboli změna rychlosti způsobená zrychlením. Změna rychlosti způsobená zrychlením je 13 minus 5, tj. 8. To je těchto 8, je to tedy 8 m/s. Tato výška je tedy 8 m/s. Základna je 5... omlouvám se, 4 sekundy. To je doba, jakou to trvalo. Jaký je tedy obsah tohoto trojúhelníku? Obsah trojúhelníku je 1/2 krát základna, která je 4 sekundy, krát výška, která je 8 m/s, krát 8 m/s. Sekundy se vykrátí, 1/2 krát 4 je 2, krát 8 se rovná 16 metrů. Takže celková ujetá dráha je 20 plus 16, je 36 metrů. Tohle je výsledek, mohli bychom říct celkové posunutí. A ještě jednou, jde o pohyb doprava, protože je to kladná hodnota. Tohle je naše posunutí. Teď bych chtěl udělat ty samé výpočty, ale nechat je zapsané pomocí proměnných, a to nám dá další vzorec, který si mnoho lidí prostě zapamatuje. Chci ale, abyste pochopili, že ten vzorec je intuitivní a vychází z logické úvahy, kterou jsme v tomto videu používali. Jaký je obsah? Ještě jednou, pokud bychom použili.... pokud bychom měli jen proměnné, obsah tohoto obdélníku se rovná počáteční rychlosti krát změna času. To je tedy ten modrý... tenhle modrý obdélník. A pak plus... co ještě musíme udělat? Máme změnu v čase. Opět máme změnu v čase krát tato výška, což je konečná rychlost, minus naše počáteční rychlost. Tohle všechno jsou vektory. Jsou kladné, což nám říká, že jdeme doprava. A pokud pouze vynásobíme základnu výškou, dostaneme obsah celého obdélníku. Musíme z něho ale vzít jen půlku, protože trojúhelník je polovina obdélníku. Takže krát 1/2. To je obsah purpurové části. To není purpurová... tohle je ta purpurová oblast. Tohle je obsah tohoto, tohle je obsah tamtoho. Pojďme to trochu zjednodušit. Vytkněme 'delta t'. Když vytknete 'delta t', dostanete 'delta t' krát spoustu dalších věcí, 'vi', což je naše počáteční rychlost, to vytkneme, plus tohle. Dále můžeme roznásobit 1/2. Vytkli jsme 1/2... Pardon, vytkli jsme 'delta t'. Vynásobme všechno 1/2. Takže to bude plus 1/2 krát 'vf', koncová rychlost... ...tohle není správná barva, udělám to ve správné barvě, abyste pochopili, co dělám... Tohle je tedy 1/2, takže plus 1/2 krát konečná rychlost minus 1/2 krát počáteční rychlost. ...to chci udělat modře. Omlouvám se, mám dnes problém s měněním barev... Minus 1/2 krát počáteční rychlost. Jak se to zjednodušilo? Máme něco plus 1/2 krát něco jiného minus 1/2 krát to původní. Co je tedy vi minus 1/2 krát vi? Odečtením poloviny celku od čehokoliv získáte tu druhou půlku. Takže tyhle dva výrazy, tento výraz a tento výraz, se zjednoduší na: 1/2 vi, 1/2 krát počáteční rychlost plus 1/2 krát konečná rychlost. A to celé je násobeno naší změnou času neboli časem, který uplynul. A to nám udává uraženou vzdálenost. Nebo se na to můžeme dívat jinak. Vytkněme 1/2. Dostanete, že vzdálenost je rovna změně času, krát – vytýkám 1/2 – vi plus vf. ...ne, to není správná barva... vi plus vf. Tohle je zajímavé. Vzdálenost, kterou jsme urazili, je rovna polovině počáteční plus koncové rychlosti. Tohle je tedy... Pokud vezmete tuto velikost, je to jen aritmetický... ...vždy mám potíž vyslovit toto slovo... je to aritmetický průměr těchto dvou čísel. Tohle tedy budu definovat jako něco nového. Budu tomu říkat průměrná rychlost. Musíme s tím ale být velice opatrní. Tohle je průměrná rychlost. Jediný důvod, proč můžu jednoduše vzít počáteční a koncovou rychlost, sečíst je a potom podělit dvěma... Vlastně beru průměr z těchto dvou čísel, který bude někde tady, a považuji ho za průměrnou rychlost. To můžu udělat jen proto, že mé zrychlení je konstantní. Což je většinou předpoklad u většiny úvodních kurzů fyziky, ale ne vždy. Pokud ale máte konstantní zrychlení, můžete předpokládat, že průměrná rychlost bude průměr z počáteční a koncové rychlosti. Pokud by to byla křivka, pokud by se zrychlení měnilo, nemohli byste to udělat. Co je ale na tomhle užitečné, je to, že pokud chcete zjistit ujetou vzdálenost, potřebujete jen znát počáteční a koncovou rychlost, určit jejich průměr a ten potom vynásobit časem. V našem případě je tedy koncová rychlost 13 m/s, naše počáteční rychlost byla 5 m/s. Máte tedy 13 plus 5 se rovná 18. To podělíte dvěma. Vaše průměrná rychlost je 9 m/s. To je průměr z 13 a 5. Potom 9 m/s krát 4 sekundy vám dá 36 metrů. Snad z toho nejste zmatení. Chtěl jsem jen ukázat, odkud se berou vzorce, které vídáte v hodinách fyziky. Že se je nemusíte učit zpaměti, že mohou být odvozeny.
video