Pohyb ve dvou rozměrech
Pohyb ve dvou rozměrech (15/15) · 8:49

Bowlingová koule ve vertikální smyčce Jak určit normálovou sílu působící na bowlingovou kouli valící se po kruhové dráze?

Navazuje na Základy kinematiky.
Představ si, že ve snaze udělat bowling zábavnějším postaví někdo doprostřed dráhy obří smyčku, musíš tedy hodit kouli opravdu rychle, aby projela smyčkou a teprve poté srazila kuželky. Něco jako bowlingový minigolf. Než začneme stavět, tady nahoře bude muset ta struktura vydržet určité minimum síly. Asi bys rád věděl, jak silné to máš vyrobit. Toto musí unést sílu bowlingové koule, aniž by se to prolomilo. Položme si otázku: Jak velký nápor síly bude muset tato smyčka vydržet, pohybuje-li se po ní bowlingová koule, v bodě na jejím vrcholu? Zadejme nějaká čísla. Řekněme, že má koule na vrcholu smyčky rychlost 8 metrů za sekundu. To je opravdu rychlé, někdo ji tudy pořádně napálil. Poloměr smyčky jsou 2 metry a koule má hmotnost 4 kilogramy, což je kolem 8 nebo 9 liber. Když máme čísla, můžeme se ptát: Jak velká normálová síla bude působit mezi smyčkou a koulí? Jinak řečeno, jak velká je normálová síla mezi těmito dvěma povrchy? Zajímá nás to, neboť chceme vědět, jestli tuto kouli naše struktura udrží. Také je to typická úloha na dostředivé zrychlení. Co uděláme nejdříve? Vždy bychom měli nakreslit silový diagram. Zjišťujeme-li sílu, kreslíme silový diagram. Jaké síly působí na tuto kouli? Máme tíhovou sílu působící dolů, její velikost je vždy „m“ krát „g“, kde „g“ je velikost tíhového zrychlení. Také budeme mít normálovou sílu. Kterým směrem bude mířit? Lidé běžně mylně říkají, že normálová síla míří nahoru, jelikož ve spoustě situací tomu tak je. Pokud stojíš tu na zemi, normálová síla míří nahoru, neboť ti brání propadnout se zemí, ale to tato smyčka nedělá. Smyčka kouli nedrží nahoře. Smyčka ti brání ji opustit, normálová síla tu tedy míří dolů. To spoustě lidem zní divně, ale protože povrch je tu nad koulí, tlačí ji dolů. Povrchy mohou pouze tlačit. Je-li povrch pod tebou, tlačí tě nahoru. Je-li povrch vedle tebe, tlačil by tě doprava. Je-li povrch vpravo, musí tě tlačit doleva. Jinak řečeno, normálová síla vždy tlačí. Síla, kterou dráha působí na míč, tedy směřuje dolů, naopak síla, kterou míč působí na dráhu, působí směrem vzhůru. Pokud tedy koule pojede moc rychle a toto bude vyrobené ze dřeva, mohlo by to prasknout, neboť tu působí příliš velká síla. Zkoumáme-li však kouli, síla, kterou dráha působí na kouli, směřuje dolů. Poté, co nakreslíš silový diagram, se obvykle snažíš najít sílu, na kterou uplatníš Newtonův druhý zákon. Aby byly výpočty jednoduché, obvykle s ním počítáme v jednom rozměru, tedy například svislém, vodorovném, nebo dostředivém. Tak to uděláme i v tomto případě. Jelikož normálová síla směřuje do středu smyčky a právě normálovou sílu hledáme, použijeme na dostředivou sílu Newtonův druhý zákon a pamatuj, dostředivá znamená, že míří do středu kružnice. Pojďme na to. Zapišme, že dostředivé zrychlení se rovná celkové dostředivé síle dělené hmotností tělesa pohybujícího se po kružnici. Dostředivé zrychlení teď můžeme přepsat jako: Rychlost na druhou děleno poloměrem dráhy, po které se těleso pohybuje. To se rovná celkové dostředivé síle dělené hmotností pohybujícího se tělesa. Vzpomeň si, jak zde zacházíme se znaménky. Sem dáme kladné znaménko, neboť dostředivé zrychlení máme kladné a dostředivé zrychlení míří vždy do středu kružnice. Směrem do kružnice bude tedy kladný směr, síly mířící do středu kružnice budou tedy také kladné. Udělejme to. Tady bývají největší potíže. Dávej tu dobrý pozor. Pouze dosadím. Jaké jsou dostředivé síly? Podívejme se na silový diagram. Jaké síly máme v diagramu? Máme normálovou sílu a tíhovou sílu. Začněme tíhovou. Bude tíhová síla dostředivá? Nejprve se musíme zeptat, jestli s ní vůbec budeme počítat. Abychom to zjistiili, ptejme se, zda směřuje do středu kružnice? Směřuje, budeme s ní tedy počítat. Směřuje do středu kružnice, ne od něj, započítáme ji tedy jako kladnou dostředivou sílu. Stejně tak normálová síla míří do středu kružnice, dosadíme ji tedy do výpočtu jako kladnou dostředivou sílu. Teď můžeme normálovou sílu vypočítat. Algebraicky mohu vynásobit obě strany hmotností a pak od obou odečíst „mg“. Dostanu hmotnost krát „v na druhou“ děleno „r“ minus velikost tíhové síly. Dosadíme-li čísla, vyjde 4 kilogramy krát 8 metrů za sekundu na druhou, na to nesmíme zapomenout, děleno poloměrem 2 metry, minus tíhová síla, která je 4 kilogramy krát „g“, což celé vyjde 88,8 newtonů. Tak velkou silou působí dráha na kouli. Newtonův třetí zákon tvrdí, že tou silou zároveň působí koule na dráhu. Ať už uděláš dráhu z čehokoliv, měla by vydržet sílu 88,8 newtonů, pokud po ní budou lidé vrhat koule rychlostí 8 metrů za sekundu. Teď se zeptám, co když se koule dostane až sem? Koule projede smyčkou a dostane se sem. Jak velká je normálová síla tady? Bude větší, menší, nebo rovna 88,8 newtonům? Abychom to zjistili, nakresleme silový diagram. Bude tu tíhová síla, jako vždy směrem dolů, o velikosti rovné hmotnosti násobené velikostí tíhového zrychlení. Také tu bude normálová síla, ta však tentokrát netlačí dolů. Pamatuj, povrchy tlačí ven. Je-li tento povrch nalevo od koule, bude ji tlačit směrem doprava. Normálová síla tentokrát míří doprava. Dráha je dobře kluzká, tření tedy zanedbáme. Máme tu tedy pouze tyto dvě síly. Bude tato síla větší, menší, nebo rovna normálové síle na vrcholu smyčky? Já tvrdím, že bude větší, a to dokonce mnohem větší, neboť dosadíš-li do dostředivých sil, dosazuješ pouze ty mířící do středu. Buď do vnitřku kruhu, ty jsou kladné, nebo ven z kruhu, tedy záporné. Nemíří-li do kruhu ani z něj, vůbec s nimi nepočítáme, neboť nesouhlasí se směrem dostředivého zrychlení. Jinými slovy nezpůsobují dostředivé zrychlení. V tomto případě už tedy tíha není dostředivou silou, neboť už nemíří do středu kružnice. Tíhová síla je ke kružnici tečná, nemíří ani dovnitř, ani ven. Proto nemá na dostředivý pohyb žádný vliv. Pouze se tu snaží kouli urychlit. Nemění směr jejího pohybu, nepřispívá k pohybu po kružnici, nezahrnujeme ji tedy do výpočtu. Když jsme počítali normálovou sílu, násobili jsme obě strany „m“. Tady už „mg“ mít nebudeme, nebudeme tedy odečítat tento člen a normálová síla tím vzroste. Zároveň se zvýší rychlost koule oproti tomu, co měla tady. Jak tedy koule klesá, tíhová síla ji urychluje, a teď, když se pohybuje rychleji, a nic tu neodečítáme, normálová síla tu bude mnohem větší ve srovnání s tím, jaká byla nahoře. Opakování: Řešíme-li úlohu na dostředivou sílu, začneme vždy silovým diagramem. Zkoumáme všechny síly v dostředivém směru, tedy směru mířícím do středu kružnice, a dáváme si pozor, abychom započítali pouze ty mířící dovnitř nebo ven a žádné jiné. Pokud míří dovnitř, jsou kladné, pokud míří ven, jsou záporné. Pokud nemíří ani dovnitř kruhu, ani ven, prostě s nimi v případě dostředivého pohybu vůbec nepočítáme.
video