Hybnost
Přihlásit se
Hybnost (5/7) · 10:01

Vektorový součin a točivý moment Jak určit směr vektoru točivého momentu?

Navazuje na Práci a energii.
Ve všech příkladech na točivý moment, které jsem vám tu ve fyzice zatím ukázal, jsme počítali pouze velikost točivého momentu, protože je to upřímně řečeno většinou to jediné důležité. Ale točivý moment je ve skutečnosti vektor a můžeme zjistit i jeho směr. A to proto, že točivý moment je definován jako vektorový součin mezi vektorem vzdálenosti od osy otáčení a působící silou. To jsou oba vektory. Takže si zopakujme, jak jsem poprvé vysvětloval točivý moment, a pak vám ukážu, že vektorový součin je vlastně to samé. Jen nyní, u vektorového součinu, budeme mít kromě velikosti točivého momentu také jeho směr. Potom také uvidíme, že tento směr je trochu... Je to jen definice směru točivého momentu. Nejsem si jistý, jak moc je to intuitivní. Takže co víme o točivém momentu? No, řekněme, že mám nějaké rameno, může to být třeba ručička hodinek nebo prostě jen rameno připnuté na zeď. Takže by se točilo kolem tohoto bodu. A potom... Změním barvu, ta purpurová je už trochu nesnesitelná... Řekněme, že toto je nějaká vzdálenost „r“ od středového bodu. Ta vzdálenost může být třeba 10. To je to samé jako r, jeho velikost se rovná 10. V této vzdálenosti od středového bodu budu působit nějakou silou F. Tuto sílu udělám žlutě. Budu působit nějakou silou F. Nakreslím ji jako přímku. Působím nějakou silou F pod nějakým úhlem. To je moje síla F. Je to vektor, má velikost a směr. Řekněme, že toto je 10 metrů a že působíme silou 7 newtonů. Udělám to trochu zajímavější. Řekněme, že působím silou, která se rovná odmocnině z 3, v newtonech. A používám ji, protože si myslím, že čísla nakonec vyjdou hezky. A řekněme, že úhel mezi silou a ramenem páky neboli rotujícím ramenem... Použijme tentokrát radiány. Řekněme, že to je pí děleno 3, pokud si to potřebujete představit, je to 60 stupňů. Pí děleno 3 radiánů se rovná théta. A s využitím toho, co již víme o točivém momentu, kolik bude točivý moment kolem tohoto bodu? Neboli kolik bude točivý moment vyvolaný touto silou? Při probírání točivého momentu a momentů síly jsme zjistili, že jediným opravdovým problémem je skutečnost, že nenásobíte celou rotační sílu vzdáleností od osy rotace. Musíte násobit jen tu část síly, která opravdu vyvolává rotaci, neboli tu část síly, která je kolmá k ramenu páky, kolmá k vektoru vzdálenosti. Jak to spočítáme? No, tu složku vektoru síly, která je kolmá k vektoru vzdálenosti... Můžu ji názorně zobrazit takto. No, vypadala by nějak takto. Mohl bych to nakreslit sem nebo také sem, že? Toto by byla ta složka, nebo spíše toto, která je kolmá na toto rotující rameno. A toto je složka rovnoběžná, ale ta nás zde nezajímá. Ta nepřispívá k rotaci. Jediné, co přispívá k rotaci, je tato složka vektoru síly. A jaká je velikost tohoto vektoru? Je to složka vektoru síly, která je kolmá k vektoru vzdálenosti. No, pokud je toto úhel... Nakreslím zde malý trojúhelník. Toto odmocnina ze tří, toto je pí děleno 3 radiánů neboli 60 stupňů a toto je pravý úhel. Toto je pí děleno 3, vím, že je to špatně čitelné. Jaká je tato délka? No, je to trojúhelník 30-60-90 a víme, že tato délka... Je tu několik způsobů, jak o tom můžete přemýšlet. Z trigonometrie víme, že toto je odmocnina z 3 krát sinus z pí děleno 3 neboli sinus ze 60 stupňů. A toto se tedy rovná odmocnina z 3. Sinus z pí děleno 3 neboli sinus 60 stupňů je odmocnina z 3 děleno 2. Takže odmocnina z 3 krát odmocnina z 3 je 3, toto je tedy 3/2. Tedy velikost složky vektoru síly kolmé na toto rameno je 3/2 newtonů. A nyní můžeme spočítat velikost momentu síly. Je to 3/2 newtonů krát 10 metrů. Takže známe velikost momentu síly... A teď se snažím být trochu důslednější v notaci, abyste viděli, že moment síly je vlastně vektor. Nebo se dá říci... Používá se pojem pseudovektor, protože to je... No, do toho se pouštět nebudu. Takže jaká je velikost vektoru momentu síly? No, je to 3/2 newtonů krát vzdálenost... A ten vektor jsem nakreslil sem jen proto, abych vám ukázal tu složku. Mohl bych vektor nakreslit sem a ukázat, kde vlastně působí síla. Mohli byste nakreslit ten samý vektor sem, protože vektory je možné posouvat. A toto je tedy 3/2 newtonů a možná to takhle bude trochu zřejmější. Takže toto je 3/2 newtonů krát vzdálenost od momentového bodu, takže krát 10 metrů. A to se rovná čemu? To je 15 newtonmetrů. Takže velikost momentu síly je 15 newtonmetrů. Vše, co jsme zatím udělali... A snad to vypadá trochu povědomě. Vše jsme viděli u momentu síly a točivého momentu. Zatím jsme jen spočítali velikost točivého momentu. Ale co když chceme zjistit jeho směr? A zde se dostáváme k vektorovému součinu. Jaká je definice vektorového součinu? Vektorový součin vektorů r a F se rovná velikosti r krát velikosti F krát sinus nejmenšího úhlu mezi těmito vektory krát jednotkový vektor, který je na oba vektory kolmý. A to je to, co nám tady pomůže, protože všechny tyto veličiny jsou skaláry, že ano? Takže nám neudávají žádný směr. Směr je zcela určen tímto jednotkovým vektorem a jednotkový vektor je jen vektor velikosti 1, který má určitý směr. No, ve vektorovém součinu jsme tuto část, která nám dává velikost, spočítali na základě toho, co jsme už věděli o točivém momentu. Velikost vektoru síly krát sinus théta udává složku síly kolmou na rameno. To jsme jen znásobili velikostí vektoru r a dostali jsme velikost točivého momentu, ta je 15. Prozatím můžeme vynechat newtonmetry. Prostě 15. A potom směr tohoto vektoru je určen vektorem n. Říkejme mu normálový vektor. A co o něm víme? Je kolmý jak k vektoru vzdálenosti r... toto je vektor r... A je kolmý k vektoru síly F. A jediný způsob, jak mohu zobrazit v našem trojrozměrném vesmíru vektor, který je kolmý na oba tyto vektory, je kolmo na nákresnu, nahoru nebo dolů. Protože oba tyto vektory leží v rovině definované plochou videa. Takže pokud mám vektor kolmý na obrazovku, ať už toto video sledujete na čemkoli, pak bude kolmý k oběma těmto vektorům. A jak zjistit, zda vektor míří z obrazovky, nebo do ní? Použijeme k tomu pravidlo pravé ruky. V rámci pravidla pravé ruky... Máme vektor r jako ukazováček, F je prostředníček. A váš palec potom ukazuje směr výsledného vektoru. Pojďme to nakreslit. Uvidíme, jestli to dokážu udělat správně. Takže tady je můj ukazováček. A můžete si představit, že máte ruku na obrazovce. Toto je můj ukazováček představující vektor r a toto je má pravá ruka. Vždy to musí být pravá ruka. Pokud byste použili pravou ruku, dostanete opačný směr. A potom můj prostředníček bude ukazovat směrem vektoru F. Tady budou ostatní prsty... Doporučuji vám si to nakreslit. Abych to nakreslil... Nakreslím sem své nehty, abyste viděli, co to je. Toto je nehet na mém ukazováčku. Toto je nehet na mém prostředníčku. A kde bude v takovéto situaci můj palec? Můj palec bude ukazovat nahoru. Snad bych mohl... Toto je nehet mého palce. Snad vám to dává smysl. Toto je má dlaň, toto je druhá strana mé... Mohl bych kreslit dál, ale takhle to snad stačí. Toto je ukazováček, toto prostředníček. Můj palec míří směrem nahoru z obrazovky, takže vektor točivého momentu míří nahoru. Takže směr tohoto jednotkového vektoru je také nahoru a to můžeme vyznačit kolečkem s tečkou. Už jsem téměř dosáhl časového limitu. A toto je tedy výsledek. Vektorový součin aplikovaný na točivý moment. Uvidíme se u příštího videa.
video