Integrální počet
Přihlásit se
Integrální počet (5/6) · 9:01

Objem rotačního tělesa užitím určitého integrálu Výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací zadané křivky kolem osy x pomocí určitého integrálu.

Zde jsem nakreslil část grafu funkce y se rovná x na druhou. A my teď použijeme naše znalosti o určitých integrálech k výpočtu objemů, a nejen plochy. Zopakujme si teď, jak postupovat při výpočtu obyčejného určitého integrálu. Když si vezmeme například určitý integrál od 0 do 2 z x na druhou, jaký má význam? Podívejme se na meze. Při dolní je x rovno 0 a řekněme, že v tomto místě bude x rovno 2. Integrací děláme to, že ke každému x vezmeme malou úsečku ‚dx‘… řekněme, že toto je malé ‚dx‘… a tuto úsečku násobíme funkční hodnotou, tedy krát x na druhou. Tuto úsečku o šířce ‚dx‘ tedy násobíme právě touto úsečkou, která má výšku x na druhou. Tím získáme obsah tohoto úzkého obdélníka. Symbol integrálu pak značí součet všech obdélníčků. Každý je nad jedním z nekonečně mnoha ‚x‘, která se nacházejí mezi 0 a 2. Uvědomme si, že délku ‚dx‘ bereme menší a menší, až nekonečně malou, ale nikdy ne nulovou. Těchto mrňavých úseček máme nekonečně mnoho. A v tom tkví celá podstata určitého integrálu. Představa je taková, že jak se ‚dx‘ stávají menší a menší, jsou i obdélníčky nad nimi užší a užší a roste i jejich počet. Čím více, tím blíže je jejich součet obsahu pod křivkou, až v limitě máme přesně obsah pod křivkou. Stejnou myšlenku teď uplatníme, abychom vypočítali nikoliv obsah pod křivkou, ale objem tělesa, vzniklého rotací této křivky podél osy ‚x‘. Tělesa se nekreslí na plochý papír snadno. Proto si pokuste představit si, co se stane, když se naše křivka bude otáčet kolem osy ‚x‘. Vytvoří tak plášť tělesa, na které se, řekněme, díváme mírně zprava. Těleso má kruhovou podstavu, která pak vypadá asi takto. Lépe to nakreslit neumím. Máme tedy podstavu a naše funkce pak tvoří plášť, ovšem funkci uvažujeme jen mezi 0 a 2. Těleso vypadá jako křivený trychtýř nebo jako vrchol libereckého Ještědu nebo jako jako podivný klobouk. Ještě tomu dodám trochu stínování, aby to vypadalo víc trojrozměrně. Tak nějak tedy vypadá těleso vzniklé rotací naší křivky. Nás zajímá celý jeho objem. Nakreslím ho ještě z jiného úhlu. Postavené na podstavu vypadá těleso takto. Takto už skutečno trochu připomíná cosi jako podivný klobouk. Směrem nahoru se špičatí a zakřivuje. Takto vypadá při pohledu z boku a mírně shora, ovšem z tohoto úhlu nevidíme podstavu. Jen pro Vaši orientaci, takto vypadají při tomto pohledu osy: Toto je osa y a osa x prochází přímo skrz těleso a na druhé straně z něho leze ven. Kdyby bylo těleso průhledné, byla by vidět i zadní strana a také hrana podstavy. Osa x by, v případě průhledného tělesa, pronikala podstavou v tomto místě, procházela tělesem a těleso opouštěla ve špičce. To je jen jiný pohled na stejnou věc, jde jen o způsob nakreslení. Zajímejme se teď o to, jak spočítat objem tělesa. Zapomeňme teď na obsahy jednotlivých obdélníčků, a představme jejich rotaci kolem osy x. Vezměme si pro začátek jeden obdélníček, který se nám tu tyčí nad ‚dx‘ a nechme ho rotovat kolem osy x. Co vznikne? Vznikne cosi, co připomíná minci, úzký kotouč nebo nízký válec. Nakreslím ho i vedle, do našeho klobouku. Má výšku ‚dx‘. Jak teď zjistíme objem takového válce? Nakreslím ho ještě zvlášť. Dělat si náčrtky je tu velice přínosné. Mám osu x. A můj kotouč, válec, vypadá takto, osa x prochází jeho středem, kolmo na něj. Zde je povrch jedné podstavy a tady výška válce. A ještě trochu stínování pro efekt. Co tedy onen objem? Jako u každého válce nám bude stačit znát obsah podstavy a ten vynásobit výškou válce. Jaký obsah má tedy podstava? Inu, víme, že obsah kruhu je roven pí krát poloměr na druhou. Kdybychom tedy znali poloměr, znali bychom i obsah podstavy. Jaký má tedy poloměr? Přeci stejný jako výška obdélníčku, s nímž jsme začali točit. A pro každé ‚x‘, je výška obdélníčku nad ‚x‘ rovna hodnotě funkce v daném ‚x‘. V tomto případě je f(x) rovno x na druhou. A takový je tedy i onen poloměr, roven x na druhou. Obsah podstavy pro dané ‚x‘ je tedy roven pí krát f(x) na druhou. V tomto případě je f(x) rovno x na druhou. Jak bude vypadat náš objem? Bude to obsah podstavy krát výška. A naše výška válečku je ‚dx‘. Objem našeho válečku, našeho kotouče nebo mince, jak chcete, se rovná obsah podstavy krát dx, a to se rovná pí krát x na druhou a znovu na druhou, tedy pí krát x na čtvrtou krát dx. Tento výraz nám dává objem jenom jednoho kotoučku. Ale my chceme přece celý klobouk, celý Ještěd, celý konec trumpety, dalo by se říct. Jak na to? Aplikujeme stejnou myšlenku. Co když pro objem všechny ty kotoučky sečteme, podobně jako jsme sčítali obdélníčky kvůli obsahu? Jenom přepnu na psaní jednou barvou. A sečtěme všechny kotoučky závislé na ‚x‘ pro všechna x od 0 do 2. To jsou meze, které jsme si určili už na začátku, mohli jsme si zvolit i jiné, mohli jsme vzít jakékoliv dvě hodnoty. Ale teď máme 0 a 2. A proveďme tedy součet objemů všech těchto mincí. V limitě, tj. to je když se šířka mincí bude pořád změnšovat a my budeme mít víc a víc mincí až jich bude nekonečno a budou nekonečně tenké, dostaneme objem klobouku, či jak tomu chcete říkat. Po vypočtení tohoto integrálu tedy získáme objem. Umíme ho vypočítat? Ano, je to standardní integrál, jaký už známe. Schválně si ho zkuste nejprve spočítat sami, potom se samozřejmě můžete podívat dále pro kontrolu. Pí můžeme vytknout. To dá pí krát integrál od 0 do 2 z x na čtvrtou, dx. Tahle barva se mi nelíbí. Primitivní funkce k x na čtvrtou je x na pátou pětin. Máme tedy pí krát x na pátou lomeno 5. Přičemž naše meze jsou 0 a 2. Tak dostáváme pí krát tento výraz, kde x je 2. Počítejme: 2 na třetí je 8, 2 na čtvrtou je 16, 2 na pátou je ... Napíšu to. 2 na pátou lomeno 5 minus 0 na pátou lomeno 5. Takže to máme pí krát 32 děleno 5 minus 0. Krátce 32 pí pětin. Hotovo, dokázali jsme vypočítat objem tohoto podivného tělesa.
video