Vlastnosti trojúhelníků
Přihlásit se
Vlastnosti trojúhelníků (5/20) · 9:06

Vztah mezi obsahem trojúhelníku a poloměrem kružnice opsané Pomocí podobných trojúhelníků si odvodíme vztah mezi obsahem trojúhelníku a poloměrem kružnice jemu opsané.

V tomto videu chci přijít na vztah mezi obsahem trojúhelníku a kružnicí, jež ho opisuje, tedy kružnicí jemu opsanou. Než se zamyslíme nad kružnicí opsanou, zamysleme se nad obsahem trojúhelníku. Řekněme, že ten trojúhelník vypadá nějak takto. Vlastně nechci, aby vypadal jako rovnoramenný. Nakreslím ho tak, aby nevypadal jako žádný konkrétní typ trojúhelníku, a pojmenuji ho ABC. To jsou vrcholy, strana naproti vrcholu A je 'a', a pak jsou tady strany 'b' a 'c'. Víme, jak spočítat obsah trojúhelníku, když známe jeho výšku. Když tady spustíme výšku, která má délku 'h', tak víme, že obsah trojúhelníku [ABC]… … a napíšeme ABC v hranatých závorkách, to znamená obsah trojúhelníku ABC… … se rovná jedna polovina krát základna, což je 'b', krát výška. Docela jasné. Máme výraz pro obsah. Podívejme se, zda-li můžeme nějak spojit věci související s obsahem a poloměr kružnice opsané trojúhelníku. Takže kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku a každý trojúhelník má kružnici opsanou. Pokusím se nakreslit… To je ta složitá část. Takže mohlo by to vypadat nějak takhle. To by celkem šlo. Docela se to podobá kružnici. Myslím, že máte obecnou představu. Tohle je kružnice opsaná tomuto trojúhelníku. Kružnice opsaná trojúhelníku. Pojmenuji to. Tohle je kružnice opsaná tomuto trojúhelníku. Nyní se pojďme zamyslet nad středem kružnice opsané. Vypadá to, že bude ležet… … nevím, jen tak hádám… …na tomto písmenku 'b'. Takže to je střed kružnice opsané. Nakreslíme průměr kružnice a povedeme ho z bodu B skrz střed kružnice. Z bodu B půjdeme sem a pak budeme pokračovat až sem. Tomuto bodu budeme říkat bod D. Nyní pojďme sestrojit trojúhelník s vrcholy A, B a D. Prostě sem přidáme další čáru a máme trojúhelník ABD. Geometrickou hříčkou jsme dokázali… … a vlastně to není úplně bláznivý důkaz… … že jakýkoliv trojúhelník vepsaný do kružnice, kdy jedna strana trojúhelníku je průměrem kružnice, bude pravoúhlý trojúhelník. A úhel, jehož velikost bude 90 stupňů, leží naproti průměru. Takže tady je pravý úhel. Můžete si to odvodit, je to celkem jasné. Máte tento oblouk, který má 180 stupňů… … protože tohle je zjevně průměr kružnice… … a leží pod tímto vepsaným úhlem. Také jsme si dokázali, že vepsaný úhel, který leží nad obloukem, bude polovina délky oblouku. Tento oblouk má 180 stupňů, takže tenhle úhel bude 90 stupňů. Každopádně tenhle úhel bude mít 90 stupňů. Dále vidíme, že tady máme tento oblouk, ten, který kreslím světle fialovou, ten, který jde z bodu A do bodu B. Ten oblouk leží v našem náčrtku pod dvěma různými úhly, leží pod tímhle úhlem, úhlem ACB, ale také leží pod úhlem ADB, proto jsme ho sestrojili takhle. Takže leží také pod tímhle, tudíž tyhle dva úhly budou shodné. Oba dva budou mít velikost poloviny úhlu tohoto oblouku, protože jsou oba dva vepsané úhly, které leží nad stejným obloukem. A objevilo se nám tady něco zajímavého. Máme dva trojúhleníky, trojúhelník ABD a trojúhelník BEC, které mají dva úhly, které jsou stejné… Mají pravý a tento světle fialový úhel a jejich třetí úhel musí být stejný. Nakreslím ho žlutě. Tento třetí úhel musí být shodný s tímto úhlem. Mají tři stejné úhly, takže to musí být podobné trojúhelníky. Neboli poměr odpovídajících stran musí být stejný, Tuto informaci teď můžeme použít, abychom nalezli vztah mezi touto stranou… … která je průměrem, má délku 2 krát poloměr… … a výškou tohoto menšího trojúhelníku. Známe vztah mezi výškou menšího trojúhelníku a jeho obsahem, takže jsme v podstatě v cílové rovince. Pojďme na to. Takže tyto trojúhelníky jsou si podobné. Známe poměr strany 'c' a průměru. Jak dlouhý je průměr kružnice? Délka průměru kružnice je 2 krát poloměr. Tohle je poloměr. Víme, že poměr 'c' ku '2 krát poloměr' bude úplně stejný jako poměr strany 'h'… … dáme pozor, zda myslíme stejnou stranu… … a přepony tohoto trojúhelníku, takže bude stejný jako poměr stran 'h' a 'a'. A přišli jsme na to tak, že jsme se podívali na odpovídající strany. Strana 'c' a přepona jsou obě přilehlé k tomuto úhlu. Takže máte 'h' a 'a', 'c' ku '2 krát poloměr' je to samé jako 'h' ku 'a'. Nebo bychom mohli udělat spoustu dalších věcí. 1) Mohli bychom za 'h' dosadit výraz s obsahem. Vlastně to pojďmě udělat. Když použijeme původní výraz pro obsah, tak můžeme obě strany vynásobit dvěma. A obě je vydělit 'b'. Tohle se vykrátí s tímhle, tohle s tímto. Dostaneme, že 'h' se rovná (2 krát obsah) lomeno 'b'. Můžeme tento vztah přepsat jako 'c' lomeno (2 krát poloměr) se rovná 'h', což je 2 krát obsah našeho trojúhelníku lomeno 'b' a to všechno bude lomeno 'a'. Nebo bychom mohli tuto druhou část přepsat jako 2 krát obsah lomeno… … dělíme stranou 'b' a pak stranou 'a', což je to samé, jako bychom dělili 'ab'. Tohle můžeme ignorovat. Takže máme 'c' lomeno (2 krát poloměr) se rovná (2 krát obsah) lomeno 'ab'. A teď můžeme násobit křížem. 'ab' krát 'c' se bude rovnat 2 krát poloměr krát '2abc', takže to bude 4 krát poloměr krát obsah našeho trojúhelníku. Prostě vynásobím křížem tohle a tohle a to se rovná tohle krát tohle. Víme, že násobení křížem je jen násobení obou stran rovnice 2 krát poloměrem a násobení obou stran rovnice 'ab'. Udělali jsme to jak na levé straně, tak na pravé straně. 2 krát poloměr a 'ab' se zjevně vykrátí s tímto, tohle s tímhle a dostaneme, že 'abc' se rovná 2 krát poloměr krát '2abc' nebo 4 krát poloměr krát obsah našeho trojúhelníku. A jsme v cílové rovince. Obě strany vydělíme 4 krát obsahem a máme hotovo. Tohle se vykrátí s tímhle, toto s tímto a máme náš vztah. Poloměr, nebo můžeme říkat poloměr kružnice opsané… … poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku… … se rovná násobku stran toho trohúhelníku děleno 4 krát obsah trojúhelníku. To je docela úhledný výsledek.
video