Limity
Limity (12/19) · 7:41

Limity a nekonečno Jak může vypadat limita v plus nebo minus nekonečnu? A co se děje, když výsledkem limity bude nekonečno?

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Řekněme, že funkce f(x) se rovná 1 lomeno x. A chceme zjistit, jaká je limita f(x), jestliže se ‚x‛ blíží k 0 zprava. Připravím si zde malou tabulku. Vytvoříme ‚x‛ a zjistíme, čemu se bude rovnat f(x) když se ‚x‛ bude blížit k 0 zprava. Řekněme, že zkusíme 0,1, pak zkusíme 0,01, pak zkusíme 0,001 a pak zkusíme 0,0001. Všimněme si, že každé z těchto čísel je větší než 0 a že se blíží k 0 zprava… Každé je blíže k 0 než předchozí. Když je ‚x‛ 0,1, f(x) bude 1 lomeno toto. Toto je 1/10, tudíž 1 lomeno 1/10 bude 10. 1 lomeno 0,01 bude 100. 1 lomeno 0,001 bude 1 000. 1 lomeno 0,0001 bude 10 000. Vidíte, že když se ‚x‛ blíží k 0 zprava, f(x) roste opravdu rychle. Řekněme, že limita f(x) pro ‚x‛ jdoucím k 0 zprava se bude rovnat nekonečnu. Pokud tedy dosadíme číslo velmi blízké 0, řekněme 0,0000001, potom 1 lomeno tímto číslem bude 10 000 000. Jak tedy vidíme, pokud se blížíme k 0 zprava, f(x) stále roste a roste. Není to ničím svázáno. Můžeme tedy říci, že limita se rovná nekonečnu. Pojďme si zadat jinou limitu. Zadejme si limitu, kdy ‚x‛ se blíží 0 zleva, nebo-li limita f(x) je taková, že se ‚x‛ blíží k 0 zleva. V tom případě napíšeme všechny hodnoty ‚x‛ se záporným znaménkem. Pokud je ‚x‛ rovno -0,1, pak toto bude rovno -10. Jestliže je toto záporné, tak toto je také záporné. Vidíme tedy, že hodnota f(x) se zvětšuje stále více směrem do -nekonečna, když si představíme číselnou osu, hodnota půjde stále více doleva. Můžeme tedy říci, že limita f(x), když se ‚x‛ blíží k 0 zleva, se rovná -nekonečnu. To je zajímavé. Teď si pojďme zadat limitu, kdy se ‚x‛ blíží plus nebo minus nekonečnu. Zadejme si limitu f(x), kdy se ‚x‛ blíží k nekonečnu. Opět si můžeme vytvořit tabulku, x a f(x). Pokud je ‚x‛ rovno 10, pak f(x) je 1/10. Teď budu psát jen vyšší a vyšší čísla… Pokud je ‚x‛ rovno 1 000, pak f(x) je 1/1 000. Pokud je ‚x‛ rovno 1 000 000, pak f(x) bude 1/1 000 000. Vidíme tedy, že pokud se hodnota ‚x‛ stále více přibližuje zprava, hodnota f(x) se stále více blíží k 0. Můžeme tedy říci, že limita pro ‚x‛ jdoucí do nekonečna se rovná 0. Teď si pojďme zadat limitu f(x), kdy se ‚x‛ blíží -nekonečnu. Čísla budou stále více zápornější. Pokud tedy ‚x‛ bude -10, pak f(x) bude -1/10. Pokud bude ‚x‛ -1 000, pak f(x) bude -1/1 000. Pokud bude ‚x‛ -1 000 000, pak f(x) bude -1/1 000 000. Ale pořád vidíme, že se blížíme k 0. Zde se opět blížíme k 0. Co z toho tedy plyne? Kromě toho, že už jsme schopni se vypořádat s limitami. Neřekl jsem vám sice formální definici, ale snad již tušíte, jak se zabývat limitami v nekonečnu a -nekonečnu… Tady má být -nekonečno… Limity do nekonečna, limity do -nekonečna nebo když sama limita se rovná nekonečnu nebo -nekonečnu. Vidíme tedy, že to takto můžeme dělat. Ale zkusme si to představit, když se podíváme na graf funkce f(x) je rovno 1 lomeno x. Udělejme to… Měl bych stále vidět toto všechno… Zde vytvořím graf. Tady máme osu x a tady osu y a pojďme znázornit průběh funkce f(x). Vidíme, že když je ‚x‛ velmi malé číslo, například 0,1, pak se y… y je rovno f(x)… Bude velmi vysoké číslo. A čím více se blížíme k 0 zprava, f(x) se blíží k nekonečnu. Tedy čím více se blížíme k 0, tím je na ose y větší hodnota. A následně, jak se hodnota ‚x‛ stále více zvětšuje, hodnota f(x) se stále více zmenšuje a blíží se k 0. Podobně, pokud se ‚x‛ blíží k 0 zleva, vidíme, že f(x) se blíží k -nekonečnu. Čím více se hodnota ‚x‛ blíží k 0, tím více je záporná hodnota f(x) a jak se ‚x‛ blíží -nekonečnu, funkce f(x) se blíží k 0. Na tomto grafu tedy vidíme 2 asymptoty funkce f(x) se rovná 1 lomeno x. Jednu horizontální asymptotu v bodě ‚y‛ je rovno 0. Když se ‚x‛ blíží k nekonečnu, f(x) se blíží k 0, ale nikdy jí nedosáhne. Když se ‚x‛ blíží -nekonečnu, f(x) se blíží k 0 zespoda, ale rovněž jí nikdy nedosáhne. Ale také zde máme vertikální asymptotu a ta se nachází v bodě ‚x‛ rovném 0. To vidíme, protože jak se ‚x‛ blíží 0 zprava, ‚y‛ se blíží nekonečnu a jak se ‚x‛ blíží k 0 zleva, ‚y‛ se blíží k -nekonečnu. Limita v bodě ‚x‛ se rovná 0… Podíváme-li se, jak se ‚x‛ blíží 0 zprava a zleva, vidíme dvě různé věci. Rozhodně máme vertikální asymptotu v bodě ‚x‛ rovném 0, ale limita f(x) pro ‚x‛ blížícím se 0, není definována. Proč tomu tak je? Pokud se blížíme k 0 zprava, je to zcela rozdílné, než když se blížíme k 0 zleva.
video