Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (4/16) · 7:21

Směrnice sečny: příklad 2 Máme zadané tři body na grafu. Vypočítáme si sklon mezi jednotlivými body za sebou a z toho určíme průměrný sklon sečny.

Navazuje na Limity II.
V tabulce jsou zadány tři body, kterými prochází hladká funkce f. Zakresleme si je, abychom měli lepší představu. Takže svislá osa y je rovna f(x), a pak máme vodorovnou osu x. Na svislé ose vynecháme úsek, protože pracujeme s vysokými hodnotami f(x), a na horizontální ose taky trochu vynecháme. Takhle to tady naznačím. Dejme tomu že tady je 108, tady 109, 110. A řekněme, že tady je 6,5, tady 7 a tady 7,5. Nyní můžeme body zakreslit. (6,5 ; 108,25) je asi tady. (7 ; 109,45) je přibližně zde. A konečně (7,5 ; 110,15) je asi tady. Toto jsou tři body na hladké funkci f Takže si tu funkci můžeme představit. Mohla by vypadat asi takto… Naše hladká funkce f(x) by na tomto úseku mohla vypadat takto. Takže to máme graf y rovná se f(x). Nyní zkusme zodpovědět otázky. Jaká je průměrná míra změny f vzhledem k x Pro x jdoucí od 6,5 do 7, od 7 do 7,5 a od 6,5 do 7,5? Uděláme to postupně. Od 6,5 do 7… Změna x je 7 minus 6,5, což se rovná 0,5. A změna y je rovna… Koncový bod je 109,45 minus 108,25, to máme 1,2. Takže průměrná změna funkce na tomto intervalu je změna y dělená změnou x, neboli 1,2 děleno 0,5. Zapíšu to… Změna y dělená změnou x se rovná 1,2 děleno 0,5, což se rovná 2,4. Takže se to rovná 2,4. Pojďme na další interval. Změna x je 7,5 minus 6,5, to nám opět dává 0,5. Napíšu to trochu lépe. Takže změna x je opět 0,5. Od 7 do 7,5. A změna y… Skončili jsme na 110,5 a začali na 109,45, takže změna je 0,7. Takže to je 0,7. Takže změna y dělená změnou x je rovna 0,7 děleno 0,5 a to je 1,4. Takže vidíte, že směrnice přímky mezi těmito dvěma body… takže tato přímka. Zkusím ji nakreslit pěkně. Tato přímka je strmější než ta druhá. Než tady ta sečna. A nyní pojďme určit průměrnou změnu f(x) na tomto intervalu, což je to samé jako směrnice přímky mezi těmito dvěma body. Takže změna x je… Jdeme z 6,5 do 7,5, Takže změna x je rovna 1. A čemu se rovná změna y? Změna y se rovná… Skončili jsme v 110,15 a začali v 108,25… 110,15 minus 108,25 se rovná 1,9. Takže změna y dělená změnou x se rovná 1,9 děleno 1, což je 1,9. Tak… To je tedy směrnice této sečny, mezi těmito dvěma body. Směrnice této přímky, která vypadá asi takto. Je trochu méně strmá než růžová sečna, ale trochu víc strmá než oranžová. Je mezi těmi dvěma. Nyní pojďme na poslední otázku. Použijte průměrnou změnu f(x) na největším intervalu, to je tady tato, 1,9, jako přibližnou hodnotu směrnice tečny f(x) v bodě x se rovná 7. Takže se snažíme přiblížit směrnici tečny f(x) v bodě x rovno 7. Tato tečna by mohla vypadat přibližně takhle. Vidíme, že to vypadá, jakoby ta modrá čára, kterou jsme nakreslili, byla celkem dobrým přiblížením té tečny. Takže použijeme směrnici modré přímky jako odhad směrnice tečny f(x) v bodě x=7. Máme napsat rovnici tečny f(x) určené bodem (7 ; 109,45) Takže toto použijeme jako přibližnou hodnotu směrnice a ta přímka se dotýká grafu funkce v tomto bodě, je to tečna. Jen pro připomenutí, rovnice přímky určené bodem je jen způsob, jakým říct, že pro každý bod na té přímce, pro libovolný bod (x,y)… Kdybychom hledali změnu x a změnu y vzhledem k tomuto bodu, vždycky by jejich poměr vyšel stejně. Takže bychom mohli říct, že pro libovolný bod (x,y) na této přímce platí, že změna y, tedy (y minus 109,45), dělená změnou x… víme, že když se x rovná 7, f(x) se rovná 109,45, musíme brát v úvahu stejný bod, když je změna x (x minus 7), změna ‚y‘ je (y minus 109,45), a tenhle podíl je pro libovolný bod (x,y) na té přímce vždy stejný. A tuto hodnotu používáme jako odhad toho, kolik ten podíl vyjde. Bude se to tedy rovnat 1,9. Když to chceme mít v požadovaném tvaru, jen vynásobíme obě strany (x minus 7) s dostaneme (y minus 109,45) se rovná 1,9 krát (x minus 7). A máme hotovo. Toto je aproximace. Odhadli jsme směrnici a máme přibližnou rovnici tečny určenou bodem.
video