Derivace funkce
Derivace funkce (5/16) · 6:42

Odhad okamžité změny funkce - slovní úloha Máme zadány, jak rostly počty kaváren jistého amerického řetězce. Naším úkolem je určit okamžitou rychlost změny počtu kaváren za rok.

Navazuje na Limity II.
V tabulce jsou počty prodejen oblíbené americké kavárny od roku 2000 do 2006. Číslo udává počet obchodů na začátku každého roku, 1. ledna. V roce 2000 máme 1996 obchodů, v roce 2005 je jich 6177 a tak dále. Proveďte rozumný odhad okamžité změny počtu kaváren za rok na začátku roku 2003 užitím průměru směrnic dvou nejbližších sečen. Pojďme si to nakreslit. Tady jsem už vynesl všechny body, jen ještě popíšu osy. Horizontální osa je časová, říká nám, co je za rok. Svislá osa udává počet obchodů. Můžeme dokonce říct, že je funkcí času. Takže například vidíme, že v roce 2000 máme 1996 obchodů. V roce 2003 máme 4272 obchodů. 2003… nakreslím to modře. V roce 2003 máme 4272 obchodů. Tak, můžeme si představit, že obchody přibývají každou minutou Tohle nám ukazuje, kolik obchodů bylo 1. ledna v každém roce, ale kdybychom to zakreslili jako spojitou funkci, mohlo by to vypadat takto. Zkusím to dobře aproximovat nějakou křivkou, která vypadá takto. Tohle je pouze odhad toho, jak by to mohlo vypadat. Když říkají „okamžitá změna počtu kaváren za rok“, tedy vlastně „okamžitá změna počtu kaváren za čas“, vlastně říkají, že musíme odhadnout směrnici tečny křivky v roce 2003. Ta tečna bude vypadat nějak takhle. Nakreslím ji, abyste viděli, že je to tečna. Nemáme potřebné informace k tomu, abychom to vypočítali přesně, ale známe některé údaje kolem toho bodu a můžeme zjistit směrnice sečen mezi těmito body a tímto bodem, a pak můžeme vzít jejich průměr jako odhad směrnice tečny v tomto bodě. Tak například začneme nalezením směrnice této sečny. Sečny procházející body v roce 2002 a 2003. A pak určíme směrnici této sečny, mezi roky 2003 a 2004. A když je zprůměrujeme, mělo by to dát rozumný odhad okamžité změny počtu obchodů v roce 2003. Tak to pojďme udělat. Směrnice růžové sečny -od roku 2002 do 2003, se bude rovnat počtu obchodů v r. 2003 minus počet obchodů v r. 2002, to je změna v počtu obchodů, děleno změnou roků neboli změnou v čase. Takže to je 2003 minus 2002. Čemu se to rovná? V r. 2003 máme 4272 obchodů, v r. 2002 máme 3501 obchodů, to celé děleno 1 rokem. To se nám tedy zjednoduší na… Vypočítám si to bokem, abych neudělal chybu. …minus 3501… 2 minus 1 je 1, 7 minus 0 je 7, 42 minus 35 je 7. Takže se to rovná 771. Takže průměrná míra změny počtu kaváren od r. 2002 do r. 2003 byla 771 kaváren za rok. Teď uděláme to samé pro červenou sečnu -mezi r. 2003 a 2004. Směrnice této sečny je rovna počtu kaváren v r. 2004 minus počet kaváren v r. 2003 děleno 2004 minus 2003. což se rovná 5239 kaváren v r. 2004 minus 4272 v r. 2003 děleno 1 rokem. To se rovná… Opět to vypočítám bokem. Takže 5239 minus 4272. Takže 9 minus 2 je 7, teď to musíme trochu přeskupit, tak třeba odečtu 1 tisíc z těch pěti, takže to jsou 4, a z tohoto se stane 10 stovek, takže tohle bude 12 stovek, a teď vezmeme jednu tu stovku a přidáme ji k desítkám. Takže z toho je 11 stovek a z tohoto bude 13. Odtud jsme vzali stovku a to nám dalo 10 desítek. Teď můžeme odečítat. 13 mínus 7 je 6, 11 minus 2 je 9 a 4 minus 4 je 0. Takže se to rovná 967 kaváren za rok. Teď vezmeme průměr těchto dvou čísel, abychom odhadli okamžitou míru změny. Takže 967 plus 771 děleno 2. Pojďme to vypočítat. Tady přičtu 771… 7 plus 1 je 8, 6 plus 7 je 13 a 10 plus 7 je 17. A tohle musíme vydělit dvěma. Takže 1738 děleno dvěma… 2 se do 17 vleze 8 krát, 8 krát 2 je 16, odečtem to, zbude nám 13, tam se dvojka vleze 6 krát… Odečtu 12, dostanu 18, tam se 2 vleze 9 krát a nemáme žádný zbytek. Takže náš odhad okamžité změny… Odhad směrnice této tečny, je 869 kaváren za rok.
video