Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (8/16) · 5:25

Výpočet směrnice tečny pomocí limity - příklad 2 Teď, když už víme, co je směrnice tečny a jak je spojená s limitou, si to vyzkoušíme na konkrétní lineární funkci.

Navazuje na Limity II.
Nechť je funkce g proměnné x rovna -4x plus 7. Jaká je hodnota limity daného výrazu pro x blížící se -1? Než to začneme řešit, pojďme si přímku vizualizovat. A potom můžeme přemýšlet, na co se nás tu ptají. Nakreslím tu nějaké osy. Toto je moje vertikální osa a toto je moje horizontální osa. Řekněme, že toto je moje osa x. Označíme ji jako osu x. Zobrazíme funkci g(x). Tato funkce protíná osu y na její kladné poloose. Směrnice funkce g je -4. Funkce vypadá přibližně takto. Budu se snažit. Funkce vypadá nějak takto. Už víme, že směrnice této funkce je -4. Dá se to zjistit z tohoto členu rovnice přímky. Směrnice je rovna -4. My máme určit, jaká je limita tohoto výrazu pro x blížící se -1. Zobrazíme bod -1 na ose x. Pokud bude x rovno -1, pak se tento bod nachází zde. A zde je bod grafu funkce g o souřadnicích -1, funkční hodnota g pro -1. Teď vše popíšu. Tohle je osa y. A tohle je graf. A tohle je graf funkce g(x). Jde tu v podstatě o to sledovat změnu směrnice bodu x, g(x), když se bude x blížit minus 1. Zde to můžeme vidět. Pojďme na to. Vezmeme si jiné x. Řekněme, že tohle je x. Tohle je bod x, g(x). A tento zápis zde nahoře nám říká jaký je rozdíl ve vzdálenostech těchto bodů na ose y. Tohle je Vaše g(x). Ukážeme si to takto. Tohle je zmíněný rozdíl na ose y. Můžeme psát: g(x) minus hodnota funkce g pro x rovno -1. Bude lepší, když to napíšu s použitím barev. Bude to tak názornější - minus funkční hodnota g pro _1. Tohle celé lomeno vzdáleností označených bodů po ose x. Tato vzdálenost je vlastně rozdílem jejich souřadnic na ose x. Všimněte si: Vzdálenost na ose y lomeno vzdálenost na ose x. Vzdálenost na ose y lomeno vzdálenost na ose x. Takže to bude x minus (-1). A to je přesně to samé vyjádření. Tohle jsou stejná vyjádření. Teď můžeme zjednodušit minus (-1), na plus 1. Tohle můžeme napsat jako plus 1. Jsou to ta samá vyjádření. Ta samá vyjádření směrnice na úseku grafu funkce g, který je ohraničený zobrazenými body. My už víme, že pokud zvolíme jakékoliv x, směrnice přímky bude na jejím libovolném úseku vždy konstantní. Směrnice zůstává konstantní. V tomto případě bude vždy -4. Hodnota směrnice zůstane -4. Bude rovna -4. Vůbec nezáleží na tom jak blízko se s x budete blížit k -1 ani jestli se budete blížit zprava nebo zleva. A to je ono, limitováním tohoto výrazu se dostaneme k -4. Opravdu je to jen směrnice dané přímky. Takže pokaždé, co budete tento výraz limitovat pro x blížící se -1 potom se bude x blížit a blížit a blížit k -1. A tento bod se bude také blížit a blížit a blížit. Ale při každém přepočítání směrnice se dostaneme ke směrnici přímky, která je -4. To můžete vyjádřit i algebraicky. Pojďme to vyjádřit algebraicky. Budeme limitovat. Pro x blížící se -1. Limitujeme výraz g(x). V zadání nám už řekli, jaká je hodnota g(x). Je to -4x plus 7, minus g(-1). Takže minus... Co je vlastně g(-1)? -1 krát (-čtyři) je plus 4. Plus 4 plus 7 je 11. Tohle všechno lomeno (x plus 1). A to je x minus (-1). Podle této úvahy. Ale já napíšu x plus 1 touto cestou. To se bude rovnat limitě, kde se bude x blížit -1, a náš čitatel - podívejme se na něj. 7 minus 11 je -4. Vyjde nám-4. Je to -4 krát x plus 1, tohle vše lomeno (x plus 1). Takže když limitujeme přímku pro x blížící se nějaké hodnotě, můžeme přestat počítat. Ta hodnota musí být nenulová a různá od -1. Pak bude směrnice rovna -4. Takže se vždy dostaneme k -4. Stačí si jen říct, hej, to je přímka. Směrnice přímky je konstantní. Je to jen směrnice na úseku dané přímky, který je ohraničený body -1, 11 na ose y. Na tomto úseku bude směrnice shodná se směrnicí přímky. Bude rovna -4.
video