Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (9/15) · 7:46

Aproximace přírůstku nákladů s derivací Najdi funkci mezních nákladů s pomocí derivace.

Navazuje na Derivace funkce II.
Cena v dolarech za ‚x‛ vyrobených galonů mořidla je dána C(x) je rovno 3 200 plus 0,1x minus 0,001(x na druhou) plus 0,0004 (x na třetí). Jaká je rovnice funkce mezních nákladů C'(x)? Skutečně musíme zderivovat C vzhledem k ‚x‛, abychom zjistili, jak se C mění s měnícím se ‚x‛. Jak se s rostoucím množstvím mění naše náklady? Jaká je derivace tohoto? Derivace 3 200 vzhledem k ‚x‛ je právě 0. Derivace 0,1x je 0,1. Derivace -0,001 (x na druhou) bude -0,002x. A nakonec derivace tohoto bude... ...podívejte, toto jsou 4 desetitisíciny. Tudíž 3 krát 4 desetitisíciny je 12 desetitisícin. Tudíž 0 čárka 1, 2, 3, 4. Je to 0,0012 (x na druhou). Toto zde je rovno funkci mezních nákladů. Pokud toto uvidíte ve cvičení, můžete to psát tímto vyjádřením. Ale toto je samozřejmě rovno C'(x). Se zaokrouhlením na centy, jaké jsou mezní náklady vyrobeného 101. galonu mořidla? Říkají, že C'(100) je rovna ‚prázdné kolonce‛ dolarů za galon. Co po nás zde chtějí? To co po nás chtějí, je přibližné určení přírůstku nákladů na další galon s použitím funkce mezních nákladů. Například řekněme, že toto zde je osa x, zde je 100 galonů. A řekněme, že zde je další galon, tedy 101. galon. A naše nákladová funkce by mohla vypadat nějak takto. Pokud spočítáte C'(100), tak dostanete směrnici v tomto bodě, dostanete směrnici tečny v daném bodě. Toto je C'(100). Napíši to. Směrnice je rovna C'(100). A oni po nás chtějí, abychom zjistili... Pokud chceme znát skutečné náklady na výrobu 101. galonu, tak bychom měli říct... ...tato hodnota zde je C(100). Tato hodnota zde nahoře je C(101). Udělám to odlišnou barvou. C(101). Pokud byste chtěli spočítat přesné náklady produkce další jednotky, měli byste odečíst C(101) minus C(100). A to je to, co chtějí zjistit jako další, přesné náklady. Ale mi si to můžeme aproximovat s použitím mezních nákladů, čili derivací naší nákladové funkce v tomto bodě. Můžeme zjistit, jaká je směrnice v C'(100) a pak to vynásobit krát další jednotka. Pokud vezmete směrnici a vynásobíte ji krát... ...vzpomeňte, směrnice je změna ‚y‛ nebo změna vertikální osy lomeno změna v horizontální ose. Pokud to vynásobíte změnou horizontální osy, což je v tomto případě 1 jednotka, dostanete výslednou změnu na vertikální ose. Nejprve, když vezmete C'(100) a pak to vynásobíte krát 1 jednotka, stále dostanete C'(100), dostanete tuto vzdálenost zde, na což se můžeme dívat, jako aproximaci tohoto. Zveličil jsem vzdálenost mezi touto křivkou a touto tečnou. Ale pojďme to spočítat. Vytáhnu svou kalkulačku a spočítám to. C'(100) bude...0,1 minus (0,002 krát 100) plus (0,0012 krát 100 na druhou), Je to $11,90. Takže to bude $11,90. Toto je toto zde. Jenom jsme vynásobili směrnici krát 1. Vyrobíme jeden galon navíc a dostaneme tuto aproximaci, což je tato vzdálenost $11,90. Pojďme teď vypočítat tento výraz zde. Podívejte, můžeme to trochu zjednodušit předtím, než to naťukáme do kalkulačky. Tento výraz bude roven 3 200 plus (0,1 krát 101) minus (0,001 krát 101... Vyměním barvy pro zvýšení kontrastu... ...krát 101 na druhou) plus (0,0004 krát 101 na třetí). A pak odečteme 3 200. Odečteme 0,1 krát 100. Pak přičteme 0,001 krát (100 na druhou). A pak odečteme...opět změním barvu... ...odečteme 0,0004 krát (100 na třetí). Vytáhněme kalkulačky a počítejme. 3 200 se vyruší, takže ho nemusíme vyťukávat. A podívejte, toto bude... ...můžeme to napsat, jako 0,1 krát 101 minus 100. Bude to 1, dokonce to nemusím dělat. Takže to bude 0,1. Takže budeme mít -0,001 krát (101 na druhou) minus (100 na druhou). A pak máme plus 0,0004 krát (101 na třetí) minus (100 na třetí), což nám dá... ...zaokrouhlujeme tedy na centy...tedy $12,02. Takže to bude $12,02. To je docela hezká aproximace s využitím derivace a vynásobením přírůstkem jednotky. Byla to docela hezká aproximace pro aktuální rozdíl, takže skutečný náklad výroby další jednotky byl $12,02. A znovu můžete říct, proč je zde rozpor? Vzpomeňte, mezní náklady této derivace další kapky, zde... ...je to okamžitá rychlost změny. Každý přírůstek kapky by byl dražší, protože křivka nemá konstantní směrnici, nemá konstantní rychlost změny. Takže to použijeme...můžete to vidět, jako lineární aproximaci... A toto je přesná hodnota.
video