Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (7/9) · 9:38

Součet geometrické posloupnosti Pojďme si odvodit vzoreček pro výpočet součtu geometrické posloupnosti. Následně si pomocí něj vypočítáme jednu konkrétní řadu.

Navazuje na Posloupnosti.
V tomto videu bych rád odvodil vzorec pro součet konečné geometrické řady. A tady máme jednu konečnou geometrickou řadu. Začíná prvním členem „a”. Všimněte si, že je napsaný jako „a” krát „r” na 0. Ale „r” umocněno na 0... Pro všechny „r”... Předpokládáme, že „r” je nezáporné. Toto bude rovno 1. Tedy náš první výraz bude „a”. A každý další výraz bude roven předchozímu výrazu krát kvocient, v našem případě „r”. Potom „a” krát „r” je „a” krát „r” na 1. Potom je tu „r” na 2. A tak dál, až se dostaneme k „r” na „n”. To je konečná geometrická řada. Pojďme si definovat tuto řadu. Použiji „S” s indexem „n” rovno téhle naší záležitosti. Nyní pojďme vynásobit „S” s indexem „n” naším kvocientem. Napíšu to zde. Řekněme, že máme „r”... Udělám ho stejnou barvou jako naše předchozí „r”... „r” krát „S” s indexem „n”. A čemu se toto bude rovnat? No prostě vynásobíme každý výraz krát „r”. Dokonce bychom mohli i toto vynásobit „r”. To nyní bude suma pro „k” od 0 do „n” rovna „a” krát „r”. Avšak nyní místo „r” na „k” násobíme každý z členů znova hodnotou „r”. Takže už to bude umocněno na („k” plus 1). Nebo, a tady se pracuje o něco snadněji, pojďme vynásobit každý z těchto členů „r”. Takže „a” krát „r” na 0 krát „r” bude „a” krát „r” umocněno na 1. Tedy to bude „a” krát „r” na 1. Napíšu to zde, „a” krát „r” na 1. Nebo „a” krát „r”, protože očividně „r” na 1 je „r”. Dále plus... Tento výraz vynásobíme krát „r”. Takže plus „a” krát „r” na 2. A takto budeme pokračovat. Nakonec dojdeme až k „a” krát „r” na („n” plus 1). Napíšu vám to. Budeme pokračovat až do... A obvykle použijeme pouze tři tečky. Já to s nimi trochu přehnal. To máme tečka, tečka, tečka. Takže plus „a” krát „r” na „n” plus „a” krát „r” na („n” plus 1)- Všimněte si, že jsem vzal každý z těchto členů a násobil je „r”. To vidíte přímo zde. Vynásobeno „r”, máme tento. Vynásobeno „r”, máme tenhle. Neukazuji všechny vynásobené „r”, ale dojdeme až k tomuto krát „r”. A vyjde nám přesně tento výraz. To, co chci teď udělat, je velmi elegantní. Je to jedno z mých nejoblíbenějších odvození v celé matematice, protože v tuto chvíli se dá udělat něco přehledného. Co se stane, když odečteme „r” krát „S” s indexem „n” od „S” s indexem „n”? Zamyslete se nad tím. Zde dostaneme „S” s indexem „n” minus „r” krát „S” s indexem „n”. Všimněte si, že začínám s tímto, a odečítám tu samou věc od obou stran rovnice. Na levé straně odečítám „r” krát „S” s indexem „n”. Na pravé straně, od tohoto, odečítám tohle všechno. Takže co nám vychází na pravé straně? Tohle bude rovno... Toto budu na chvíli ignorovat, protože hlavně nás zajímá tato část. Tedy „a” krát „r”. Chystám se udělat to, že od sebe odečteme všechny výrazy se stejnou mocninou. Například „a” krát „r” na 0. Žádné další „r” na 0 už tu není. Takže tu prostě bude „a” krát „r” na 0. Nebo to samozřejmě mohu psát jako „a”, protože „r” na 0 je 1. Napíšu to tedy jako „a”. To bychom měli tohle. Potom tu máme „a” krát „r” s mocninou 1 minus „r” umocněno na 1. No to se zkrátka navzájem odečte. Tyto dva výrazy se odečtou. Budou se pořád odečítat. Budou se nadále odečítat, dokud nám nezbude tohle. A už není od čeho to odečíst. Nemáme žádné „a” krát „r” na („n” plus 1) zde. Tak to prostě jen odečteme. Takže minus „a” krát „r” na („n” plus 1). A nyní můžeme začít řešit sumy. Nezapomeňte, že to je cíl tohoto videa, zkusit odvodit vzorec pro tuhle sumu. Pojďme vytknout „S” s indexem „n”. Takže tohle je „S” s indexem „n” krát (1 minus „r”), což se rovná tady tomu. Rovná se to prvnímu členu minus první člen krát „r” na („n” plus 1). Čili mocnina je o jeden stupeň vyšší než počet členů původní sumy. Pojďme udělat tohle: krát „r” na („n” plus 1). Abychom zjistili hodnotu „S” s indexem „n”, musíme vydělit obě strany (1 minus „r”). Takže nám zbývá... Za předpokladu, že „r” se nerovná 1, nám zůstane „S” s indexem „n” se rovná „a” minus „a” krát „r”... Jen přepisuji, co je zde nahoře... „r” na („n” plus 1) děleno (1 minus „r”). Nyní si asi říkáte, proč je to všechno tak důležité? K čemu to je dobré? Zkusme použít vzorec, který jsme si právě odvodili. Řekněme, že máme geometrickou řadu. Její první člen je třeba, já nevím, například 3. Použiji stejné barvičky jako předtím. To je 3 krát 1 lomeno 2 umocněno na „k”. A začneme s „k” rovno 0, a bude pokračovat až do, já nevím, třeba do „k” rovno 100. A pro představu, jak to bude vypadat, první člen bude 3 krát 1 lomeno 2 umocněno na 0. To je prostě 3. Náš první člen je 3, což byl záměr. Takže náš první člen je 3. Plus 3 krát 1 lomeno 2 na 1. Tohle je 3 krát 1 lomeno 2 na 0, dále máme 3 krát 1 lomeno 2 na 1. 3 krát 1 lomeno 2. Mohl bych tam i napsat mocninu 1. A potom plus 3 krát 1 lomeno 2 umocněno na 2. A takto budeme pokračovat dál, napíšu to zde, budeme pokračovat dál, dokud se nedostaneme k 3 krát 1 lomeno 2 umocněno na 100. Asi si představíte, že by to šlo spočítat na kalkulačce, ale bylo by to velmi velmi obtížné. A také zbytečně zdlouhavé, sčítat těchto 101 čísel. Místo toho použijeme vzorec. Takže tahle suma bude rovna, když to spojíme vše dohromady, bude rovna našemu prvnímu členu, což je 3. Bude rovna 3 minus 3 krát 1 lomeno 2, to je náš kvocient... Krát 1 lomeno 2 na („n” plus 1). No ale „n” je 100. Tedy to je na 101. To celé lomeno 1 minus 1 lomeno 2. A nyní je to mnohem snazší. Zpaměti by se to dělalo těžko, ale s kalkulačkou je to mnohem snazší naťukat a získat správnou odpověď. Tak to pojďme udělat. Bude to uspokojující. Tohle vymažeme. Bude to 3 minus 3 krát... 1 lomeno 2 mohu psát jako 0,5 a tedy 0,5 na 101. Mám to správně? 3 minus 3 krát 0,5 na 101 děleno... 1 minus 1 lomeno 2 je prostě 1 lomeno 2... Takže budeme dělit 1 lomeno 2 nebo též 0,5. A vyjde nám 6. Dostali jsme 6. A nebude to přesně 6. Vidíme, že kdybychom měli nekonečnou řadu, vyjde přesně 6. Ale bude to velmi blízko. Vlastně už jsme na hranici přesnosti kalkulačky. V závislosti na přesnosti kalkulačky Vidíme, že to bude velmi blízko 6.
video