Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (15/17) · 5:18

Úprava funkce před integrováním V některých příkladech je výhodné integrovanou funkci před integrací upravit. Jedním způsobem může být dělení mnohočlenu mnohočlenem.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Zkuste vypočítat tento integrál. Nejspíš už jste to zkusili, takže se do toho teď pustíme společně. Možná jste si uvědomili, že některé klasické techniky, které už známe, asi moc nepomůžou, třeba substituce a další. Tady je důležité si uvědomit, že máme zlomek, ve kterém je stupeň čitatele stejný nebo větší než stupeň jmenovatele. V tomto případě mají čitatel a jmenovatel stejný stupeň. Kdykoliv uvidíte něco takového, je dobré vydělit čitatele jmenovatelem. Tak potom můžeme přepsat tento racionální výraz. (x minus 5) děleno (-2x plus 2). Bude to vlastně písemné dělení. Chceme (x minus 5) vydělit (-2x plus 2), abychom to mohli přepsat tak, že to půjde lépe integrovat. Pojďme to udělat. Vezmeme (x minus 5). (x minus 5) vydělíme (-2x plus 2). -2x plus 2. Podívejte se na členy s nejvyšším stupněm. Kolikrát se -2x vejde do x? To bude -1/2 krát. -1/2 krát 2 je -1. -1/2 krát -2x je x. Prostě takhle. A teď chceme ten žlutý výraz odečíst od toho modrého nebo můžu vzít tohle vynásobené -1 a přičíst to. Takže jen přičtu záporné tohle. Zůstává nám tu -5 plus 1, což je -4. Dá se říct, že (-2x plus 2) se do (x minus 5) vejde -1/2 krát se zbytkem 4. Takže můžeme přepsat tenhle integrál, náš původní integrál, jako -1/2 minus (4 děleno (-2x plus 2)), dx. A teď to vypadá, že tenhle výraz můžeme ještě zjednodušit. Čitatel i jmenovatel jsou dělitelné 2. Všechny ty členy jsou dělitelné 2. A navíc tu máme tolik záporných věcí, to to vždy zbytečně komplikuje. Pojďme vydělit čitatele i jmenovatele -2. A co dostaneme? Vydělíme čitatele -2. Když tohle je -4, tak to bude 2. Pak tohle, když -2x vydělíme -2, dostaneme x. A pak 2 děleno -2 je -1. Takže náš integrál… To je vše jen algebra. Vše, co jsme zatím udělali, je algebra. Jen jsme to přepsali pomocí dělení výrazů. Náš původní integrál se zjednodušil na -1/2 a někteří by řekli, že to není zjednodušení, ale ve skutečnosti to je mnohem jednodušší pro integrování. -1/2 plus (2 děleno (x minus 1)), dx. A jak to teď vypočítáme? No, integrovat -1/2 je dost jednoduché. To bude prostě -1/2x. Plus integrál z (2 děleno (x minus 1)). A to možná zvládnete z hlavy. Derivace z (x minus 1) je 1, takže můžete říct, že ta derivace tu je. Můžeme vlastně říct, že v hlavě používáme substituci. Takže to celé dá přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z (x minus 1). Jestli vám to připadá matoucí, klidně použijte substituci. Když chci spočítat integrál z (2 děleno (x minus 1)), dx, tak můžu říct, že derivace z (x minus 1) je 1, takže řekněme, že ,u' je rovno x minus 1, a ,du' pak bude rovno ,dx'. A to bude, přepíšeme to pomocí substituce, konstantu vyndám před to, takže 2 krát integrál z (1 děleno u), du, což je 2 krát (přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z u) plus c. V tomto případě víme, že ,u' je x minus 1. Toto je rovno 2 krát (přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z (x minus 1)) plus c. To budeme mít tady. Takže plus 2 krát ten přirozený logaritmus z absolutní hodnoty z (x minus 1), plus c. To "plus c" není jen odsud, dávám ho k integrálu toho celého. Mohla by to být nějaká konstanta, protože když jdeme opačně, když derivujeme, tak ta konstanta zmizí. Dám to "plus c" sem a jsme hotovi.
video