Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (16/17) · 6:06

Úprava funkce před integrováním 2 Další ukázka toho, že se často před integrací vyplatí funkci upravit. Nyní to bude s pomocí trigonometrické identity.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Podívejme se, zda dokážeme najít primitivní funkci k 'cos(x) na třetí'. Vyzývám vás, pozastavte si video a zkuste to nejdříve sami. Pokud jste to zkusili, mohli jste se někde zaseknout. Někteří jste to vyřešili, někteří jste nevěděli, jak dál. Řekli jste si: „Ok, 'cos(x) na třetí', kež bych tu měl derivaci kosinu. Kdybych tu měl sin(x), mohl bych využít substituce. Jak ale najdu primitivní funkci k 'cos(x) na třetí'?“ Klíčem je využít některých základních trigonometrických identit. Co tím myslím? Víme, že 'sin(x) na druhou' plus 'cos(x) na druhou' je roven 1. Odečteme-li 'sin(x) na druhou', dostaneme, že 'cos(x) na druhou' je roven 1 minus 'sin(x) na druhou'. Co když máme 'cos(x) na třetí'? To je cos(x) krát 'cos(x) na druhou'. Co když dosadíme za 'cos(x) na druhou'? Přepíšu to. Je to stejné jako cos(x) krát 'cos(x) na druhou' krát dx. Co kdybychom vzali tuto věc… Udělám to fialově. Co kdybychom vzali tuto věc a nahradili ji tímto? Vím, co si myslíte. „Sale, jak mi to pomůže? Děláš ten integrál ještě horší.“ Na to bych vám řekl: „Zdá se, že to je komplikovanější, ale jakmile to trochu upravíme, uvidíte, že takto jej vyřešíme snadněji.“ Zkusme to. Bude to tedy neurčitý integrál z cos(x) krát (1 minus 'sin(x) na druhou') krát dx. Čemu to bude rovno? Bude to… Udělám to zeleně. Bude to rovno integrálu z cos(x)… Roznásobím to tím cos(x). cos(x) minus [cos(x) krát 'sin(x) na druhou']. uzavřu závorku, krát dx. To bude samozřejmě integrál cos(x) dx, to víme, čemu se to bude rovnat, minus integrál… Změním barvu. Integrál cos(x) krát 'sin(x) na druhou' krát dx. To je velmi zajímavé. Tato část je snadná. Primitivní funkce k cos(x) je sin(x). Toto bude sin(x). O konstantu se budu zajímat až nakonec, oba integrály dají nějakou konstantu, takže je dám později dohromady. Toto je tedy sin(x) a co máme tady? Určitě poznáte, že mám funkci závislou na sin(x), Mám sin(x) a mocním ji na druhou. Rovněž tu mám derivaci sin(x). Mám derivaci nějaké funkce, označím f'(x) a mám tu i funkci té funkce, označím g(f(x)). To napovídá, že využijeme substituci. Tento vzor jsme viděli už několikrát. Můžete říct, že máte funkci nějaké funkce a také její derivaci, můžete integrovat vzhledem k té funkci. G je primitivní funkce k g. G(f(x)) plus C. Pokud vám nedávalo smysl to, co jsem právě řekl, uděláme substituci a vezmeme to krok po kroku. Udělejme to tak, chceme, aby to dávalo smysl. To je celý smysl těchto videí. Označme 'u' rovno sin(x) a 'du' bude cos(x) dx. Toto bude tedy 'du' a toto bude 'u na druhou'. Toto bude minus. Máme integrál 'u na druhou' krát du. Kolik to bude? Bude to 'u na třetí' lomeno 3. Víme, co je 'u', 'u' je sin(x). Z prvního integrálu máme sin(x). Dále minus… Napíšu to takto. (-1 lomeno 3) krát… Namísto 'u na třetí', víme, že 'u' je sin(x). 'sin(x) na třetí'. Nakonec přičteme konstantu C. Jsme hotovi. Spočítali jsme neurčitý integrál. Klíčem k řešení bylo pohrát si s trigonometrickými identitami, abychom jej dostali do tvaru, kdy umíme použít substituci. Což je v podstatě zpětné řetězové pravidlo pro derivaci.
video