Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (5/6) · 9:01

Objem rotačního tělesa užitím určitého integrálu Výpočet objemu rotačního tělesa vzniklého rotací zadané křivky kolem osy x pomocí určitého integrálu.

Navazuje na Základní metody integrace.
Zde jsem nakreslil část grafu funkce y se rovná 'x na druhou'. Teď použijeme znalosti určitých integrálů k výpočtu objemu, nejen plochy. Zopakujme si teď, jak postupovat při výpočtu obyčejného určitého integrálu. Vezmeme-li například určitý integrál od 0 do 2 z 'x na druhou', co to znamená? Podívejme se na meze. V dolní mezi je x rovno 0 a řekněme, že v tomto místě bude x rovno 2. Integrací děláme to, že ke každému x vezmeme malou úsečku ‚dx‘… Řekněme, že toto je malé ‚dx‘… Tuto úsečku násobíme funkční hodnotou, tedy krát 'x na druhou'. Tuto úsečku o šířce ‚dx‘ násobíme právě touto úsečkou, která má výšku 'x na druhou'. Tím získáme obsah tohoto úzkého obdélníku. Symbol integrálu pak značí součet všech obdélníčků. Každý je nad jedním z nekonečně mnoha ‚x‘, která se nacházejí mezi 0 a 2. Uvědomme si, že délku ‚dx‘ bereme menší a menší, až nekonečně malou, ale nikdy ne nulovou. Těchto malých úseček máme nekonečně mnoho. V tom tkví celá podstata určitého integrálu. Představa je taková, že jak se ‚dx‘ stávají menší a menší, jsou i obdélníčky nad nimi užší a užší, přičemž roste i jejich počet. Čím více jich je, tím blíže je jejich součet roven ploše pod křivkou, až v limitě máme přesně obsah pod křivkou. Stejnou myšlenku teď uplatníme, abychom vypočítali nikoliv obsah, ale objem tělesa vzniklého rotací této křivky podél osy x. To nám procvičí představivost. Pokuste si představit, co se stane, bude-li se naše křivka otáčet kolem osy x. Vytvoří tak plášť tělesa, na které se díváme mírně zprava. Těleso má kruhovou podstavu, která pak vypadá asi takto. Lépe to nakreslit neumím. Máme tedy podstavu a naše funkce pak tvoří plášť, funkci uvažujeme jen mezi 0 a 2. Těleso vypadá jako trychtýř nebo jako vrchol libereckého Ještědu nebo jako podivný klobouk. Ještě tomu dodám trochu stínování, aby to vypadalo víc trojrozměrně. Tak nějak tedy vypadá těleso vzniklé rotací naší křivky. Nás zajímá celý jeho objem. Nakreslím ho ještě z jiného úhlu. Postavené na podstavu vypadá těleso takto. Takto už skutečně trochu připomíná podivný klobouk. Směrem nahoru se špičatí a zakřivuje. Vypadá nějak takto, ovšem z tohoto úhlu nevidíme podstavu. Jen pro vaši orientaci, takto vypadají při tomto pohledu osy: Toto je osa y. Osa x prochází přímo skrz těleso a na druhé straně z něho leze ven. Kdyby bylo těleso průhledné, byla by vidět zadní strana a také hrana podstavy. Osa x by, v případě průhledného tělesa, pronikala podstavou v tomto místě, procházela tělesem a těleso opouštěla ve špičce. To je jen jiný pohled na stejnou věc, jde jen o způsob nakreslení. Zajímejme se teď o to, jak spočítat objem tělesa. Zapomeňme teď na obsahy jednotlivých obdélníčků. Představme si jejich rotaci kolem osy x. Vezměme si pro začátek jeden obdélníček, který se nám tu tyčí nad dx, a nechme ho rotovat kolem osy x. Co vznikne? Vznikne cosi, co připomíná minci, úzký kotouč nebo nízký válec. Nakreslím ho i vedle do našeho klobouku. Má výšku ‚dx‘. Jak teď zjistíme objem takového válce? Nakreslím ho ještě zvlášť. Dělat si náčrtky je tu velice přínosné. Mám osu x. Můj kotouč, válec, vypadá takto, osa x prochází jeho středem, kolmo na něj. Zde je povrch jedné podstavy a tady výška válce. A ještě trochu stínování pro efekt. Co tedy onen objem? Jako u každého válce nám bude stačit znát obsah podstavy a ten vynásobit výškou válce. Jaký obsah má tedy podstava? Víme, že obsah kruhu je roven π krát 'poloměr na druhou'. Kdybychom tedy znali poloměr, znali bychom i obsah podstavy. Jaký má tedy poloměr? Stejný jako výška obdélníčku, jež jsme nechali rotovat. Pro každé ‚x‘, je výška obdélníčku nad ‚x‘ rovna hodnotě funkce v daném ‚x‘. V tomto případě je f(x) rovno 'x na druhou'. Takový je tedy i onen poloměr, je roven 'x na druhou'. Obsah podstavy pro dané ‚x‘ je tedy roven π krát 'f(x) na druhou'. V tomto případě je f(x) rovno 'x na druhou'. Jak bude vypadat náš objem? Bude to obsah podstavy krát výška. Výška válečku je ‚dx‘. Objem našeho válečku, našeho kotouče nebo mince, jak chcete, se rovná obsah podstavy krát dx. To se rovná π krát 'x na druhou', to celé na druhou, tedy π krát 'x na čtvrtou' krát dx. Tento výraz nám dává objem jednoho kotouče. My chceme přece celý klobouk, celý Ještěd, celý konec trumpety, dalo by se říct. Jak na to? Aplikujeme stejnou myšlenku. Co když pro objem všechny ty kotoučky sečteme, podobně jako jsme sčítali obdélníčky kvůli obsahu? Jenom přepnu na psaní jednou barvou. Sečtěme všechny kotoučky závislé na ‚x‘ pro všechna x od 0 do 2. To jsou meze, které jsme si určili už na začátku, mohli jsme si zvolit i jiné, mohli jsme vzít jakékoliv dvě hodnoty. Teď máme 0 a 2. Proveďme tedy součet objemů všech těchto mincí. V limitě, to je, když se šířka mincí bude pořád změnšovat a my budeme mít víc a víc mincí, až jich bude nekonečně mnoho a budou nekonečně tenké, dostaneme objem klobouku, či jak tomu chcete říkat. Po vypočtení tohoto integrálu tedy získáme objem. Umíme ho vypočítat? Ano, je to standardní integrál, jaký už známe. Schválně si ho zkuste nejprve spočítat sami. π můžeme vytknout. To dá π krát integrál od 0 do 2 z 'x na čtvrtou' dx. Tato barva se mi nelíbí. Primitivní funkce k 'x na čtvrtou' je 'x na pátou' lomeno 5. Máme tedy π krát 'x na pátou' lomeno 5. Přičemž naše meze jsou 0 a 2. Dostáváme π krát tento výraz, kde x je 2. 2 na třetí je 8, 2 na čtvrtou je 16, 2 na pátou je… Napíšu to. ('2 na pátou' lomeno 5) minus ('0 na pátou' lomeno 5). To bude rovno… '2 na pátou' je 32… Takže to máme π krát 32 děleno 5 minus 0. 32π lomeno 5. Hotovo, dokázali jsme vypočítat objem tohoto podivného tělesa.
video