Přímky
Přímky (5/5) · 14:42

Zlatý řez Úvod do poměru zlatého řezu, který lze pozorovat v umění i přírodě.

V tomto videu chci prozkoumat délku daného vlákna nebo úsečky ,B'. Můžu nastavit ,A' tak, že poměr mezi ,A' a ,B' je roven poměru součtu těchto dvou k delší straně? Tedy k poměru ,A plus B' ku ,A'? Chce to trochu promyslet. Chci zjistit, zda můžu vytvořit takové A, které je v tomto poměru, v tomto ideálním poměru, na který se odkazuji, tak aby poměr delší strany ke kratší straně byl roven poměru celé délky k delší straně a předpokládejme, že můžeme najít takový poměr a nazveme ho φ (Fí). Pro tento poměr použijeme řecké písmeno φ (Fí). Pojďme se podívat, co se můžeme o tomto speciálním poměru fí naučit. fí je rovno A lomeno B, což je rovno (A plus B) lomeno A. Víme, že (A plus B) lomeno A je stejné jako (A lomeno A) plus (B lomeno A) A lomeno A je 1 a B lomeno A je jen převrácený zápis, takže B lomeno A, tento zápis je φ, takže B lomeno A bude 1 lomeno φ. Toto bude 1 lomeno φ. To je zajímavé, vytvořili jsme číslo, které je... tento speciální poměr nazveme φ, φ je rovno 1 plus (1 lomeno φ). Toto je elegantní zápis, nejdříve odečtěte 1 od obou stran, dostanete φ minus 1 je rovno převrácenému φ. To se zdá být pěkná vlastnost jakéhokoliv čísla, pokud od něj odečtu 1, dostanu jeho převrácenou hodnotu. A to vypadá velmi zajímavě. Ale pak i tento zápis je docela zajímavý, protože jste předefinovali φ ve smyslu 1 plus (1 lomeno φ), takže o tom můžeme přemýšlet takto, můžeme říct, že φ je rovno 1 plus (1 lomeno φ), ale místo zapsání φ, řekneme: počkat, φ je 1 plus (1 lomeno (1 plus (1 lomeno...) a místo φ, je to 1 plus (1 lomeno...) a můžu napsat znovu φ, nebo můžu prostě pokračovat, můžu takto pokračovat do nekonečna. Můžu říct, že to je 1 lomeno (1 plus (1 lomeno...) a pokračovat pořád dokola do nekonečna. A toto je rekurzivní definice funkce, kde funkce... kde rekurzivní definice proměnné byla definována sama sebou, ale i toto se zdá být pěkná vlastnost, ale chceme se dostat ještě dál, vlastně chceme přijít na to, co je φ, jaká je hodnota φ, tohoto divného čísla, tohoto divného poměru, který jsme začali zkoumat. Pojďme se podívat, zda to můžeme převést na kvadratickou rovnici, kterou umíme řešit použitím poměrně tradičních metod. Nejjednodušší cesta jak to udělat, je vynásobit obě strany této rovnice krát φ a dostanete (φ na druhou) plus... nebo (φ na druhou) se rovná φ plus 1 φ na druhou je rovno φ plus 1 a pak, trochu bych to protěžoval, protože i tohle je zajímavé, protože pokud vezmeme druhou odmocninu obou stran, dostanete... posunu to dolů... dostanete φ rovná se odmocnina z ... jen přehodním pořadí odmocnina z 1 plus, odmocnina z (1 plus φ) A zvovu, můžeme vytvořit další rekurzivní definici φ je rovno odmocnině z (1 plus φ) a můžu zde napsat φ, ale hele, φ je rovno odmocnině z 1 plus a můžu napsat φ zde, ale hele, φ je rovno odmocnině z 1 plus a můžete pokračovat pořád dokola až do nekonečna. Takže i toto je elegantní. Stejné číslo, jež může být vyjádřeno takto, stejné by bylo, kdybych od něj odečetl 1, dostanete jeho převrácenou hodnotu. Může být také vyjádřeno těmito rekurzivními odmocninami pod sebou. To začíná být opravdu hodně zajímavé. Ale pojďme zpět k věci, pojďme to vyřešit, toto magické číslo, tento magický poměr, o kterém jsme začali uvažovat. a opravdu z jednoduché myšlenky, že poměr delší strany ke kratší je roven poměru součtu těch dvou k delší straně. Pojďme to vyřešit jako tradiční kvadratickou rovnici. Převeďme vše na levou stranu, takže odečteme φ plus 1 od obou stran a dostaneme φ na druhou, minus φ, minus 1 rovná se 0. A můžeme vyřešit φ pomocí vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice, jak jsme si ukázali v jiných videích, že ho můžete dokázat pomocí doplnění na čtverec, ale ve vzorci říkáme -B, -B je koeficient tady v tomto výrazu. Jen to zapíšu. A je rovno 1, to je koeficient v tomto výrazu, B je rovno -1 to je koeficient v tomto výrazu C je rovno -1, to je koeficient, který je vlastně konstantní výraz takže výsledek φ, my se budeme zajímat pouze o kladný výsledek protože se zajímáme pouze o kladné výsledky, pokud se vrátíme k našemu původnímu úkolu, předpokládáme, že obě vzdálenosti jsou kladné, takže se zde zajímáme o kladnou hodnotu. Dostaneme φ rovná se.. udělám to oranžovou, -B, minus -1 je 1 plus nebo minus odmocnina z B na druhou, (B na druhou) bude 1 minus 4AC A je 1, C je -1 takže -4 krát -1 je 4, 1 plus 4 to celé lomeno 2A, A je 1, to celé lomeno 2 φ je rovno 1, a znovu, zajímáme se pouze o kladné výsledky. toto bude odmocnina z 5, máte 1 minus odmocnina z 5. Dostanete záporné číslo v čitateli, my se zajímáme jen o kladné výsledky, 1 plus (odmocnina z 5, lomeno 2). To vypadá pěkně, zajímavé číslo. Vezměme kalkulačku a vypočtěme prvních několik míst tohoto magického čísla φ. Vezmu si svou kalkulačku a vypočteme to a možná poznáváte, že odmocnina z φ je iracionální číslo. A tedy tohle celé bude iracionální číslo, ale to dokáži v jiném videu, což znamená, že se neopakuje, pokračuje dál a dál do nekonečna. Ale vypočtěme to. Takže to je 1 plus odmocnina z 5, 1 plus odmocnina z 5, děleno 2. To je 1,6180339. Dejme to stranou a já to zapíšu. Tady to začíná být opravdu zajímavé a záhadné. Toto číslo je 1,618033988.... a pokračuje dál a dál a dál nikdy nekončí, nikdy se neopakuje. Samo o sobě to je parádní číslo. Je to tento poměr, který má všechny tyto pěkné vlastnosti, které jsou vlastně šílené, ať už to vyjádříte jakoukoliv formou. Ale co je opravdu pěkné, je, pokud se znovu podíváme na tuto část, protože co bude 1 lomeno φ? 1 lomeno Φ, což někdy označujeme velkým fí (Φ). Již víme, že 1 lomeno Φ je Φ minus 1. To můžeme vlastně vypočítat zpaměti, 1 lomeno toto bude 0,618033988. Nevím, ale na tom je něco praštěného. To, že převrácená hodnota čísla je skutečně desetinné číslo, které zbyde potom, co vynecháte jedničku. To je samo o sobě šílený nápad, ale bude to ještě šílenější! Protože toto číslo se objevuje všude, a jak si dokážete představit z názvu tohoto videa, právě toto Φ toto se nazývá zlatý řez. Toto je zlatý řez, který se objevuje všude. "Zlatý řez" Objevuje se v umění, objevuje se v hudbě, objevuje se v přírodě, a abychom získali představu, kde se v přírodě objevuje, objevuje se ve velmi prostých myšlenkách. Pokud bych kreslil... pokud bych nakreslil dokonalou hvězdu, pokud bych nakreslil pravidelnou hvězdu jako tuto, nakreslím to takto, nakreslím to zde, takže toto je pravidelná hvězda. Všechny délky jsou stejné, nakreslím to trochu lépe, pokud nakreslím hvězdu jako je tato, někdy se tomu říká pentagram, začnou se zde dít úžasné věci. Poměr této růžové strany k této modré délce, to je zlatý řez. Poměr této purpurové k této růžové, je zlatý řez, jak by mělo, podle definice. Nyní poměr této purpurové k této oranžové, je také zlatý řez. Objevuje se ve spoustě různých forem, pokud se podíváte na pentagram jako tento. Pokud se podíváte na něco jako pětiúhelník, pravidelný pětiúhelník, kde jsou všechny úhly stejné a všechny strany jsou stejné, pravidelný pětiúhelník. Pokud vezmete některou z úhlopříček pravidelného pětiúhelníku, přímo tady, pokud vezmete tuto úhlopříčku, poměr této zelené strany k... a mluvím o úhlopříčkách, o těch, které vlastně nejsou jedněmi z hran, poměr kterékoliv z úhlopříček k některé ze stran, je opět zlatý řez. Objevuje se znovu a znovu. Se zlatým řezem můžeme dělat zajímavé věci. Řekněme, že máme obdélník, kde poměr délky k šířce je zlatý řez. Tak to vyzkoušejme. Řekněme, že toto je šířka, toto je délka, a toto je poměr. Nazvěme toto A a toto nazveme B a poměr A ku B je roven φ, to je těch 1,61... a tak dále. Posunu to trochu dolů. A to se bude rovnat φ. A to je, však víte, něco zajímavého, možná to je hezky vypadající obdélník. Ale udělejme sem ještě čtverec, rozdělme to na čtverec o straně B krát B, takže tohle je čtverec o rozměrech B krát B, a pak, vlastně udělám to trochu... Nakreslím to trochu jinak, tento obdélník vypadá jinak, než jak bych chtěl. tento obdélník, to není zrovna způsob, jak bych to chtěl nakreslit. Poměr by měl vypadat přibližně takto, poměr délky a šířky, nebo délky a výšky, bude zlatý řez. A lomeno B bude ten zlatý řez. Trochu oddělím čtverec B krát B, tady. Malý čtverec B krát B. Tohle má také délku B a tato vzdálenost bude A minus B. Takže tohle je teď B krát (A minus B) máme... vlastně bych měl říct, že máme čtverec B krát B, přímo zde. Toto je B krát B, a pak zbývá obdélník o stranách B krát (A minus B). Nebylo by parádní, kdyby toto také... kdyby tohle byl také zlatý řez? Pojďme to vyzkoušet. Najděme poměr B ku (A minus B). Takže poměr B ku (A minus B), Takže to se bude rovnat 1 lomeno poměr (A minus B) ku B. Vezmu pouze převrácenou hodnotu tohoto, a to se bude rovnat 1 lomeno ((A lomeno B) minus 1). Dobře, pouze jsem tohle přepsal, a to se bude rovnat 1 lomeno φ, poměr A ku B, jak jsme řekli podle definice, bylo φ minus 1. ale co je φ minus 1? No, φ minus 1 je 1 lomeno φ! Je to to naše parádní číslo. Toto je rovno 1 lomeno (1 lomeno φ), což je opět rovno φ. Ještě jednou, poměr tohoto menšího obdélníku, jeho výšky ku šířce, je opět zlatý řez, číslo, které se pořád objevuje. A pak to můžeme udělat znovu, můžeme toto rozdělit na čtverec ( A minus B) krát (A minus B), přesně takto, a máme další "zlatý obdélník". Někdy se mu tak říká. A pak to můžeme rozdělit na čtverec a na další zlatý obdélník. A to můžeme rozdělit na čtverec a další zlatý obdélník. Vlastně, udělám to takto, to bude lepší. Rozdělím... udělám čtverec tady. Toto je čtverec (A minus B) krát (A minus B) a pak tady máme další zlatý obdélník. Můžu dát čtverec přímo sem a budeme mít další zlatý obdélník. Pak sem můžeme dát další čtverec, máte další zlatý obdélník... Myslím, že vidíte, kam to směřuje, další čtverec a další zlatý obdélník. Což samo o sobě vytváří parádní motiv, ve kterém můžeme pokračovat jakoby kroužit dovnitř, a pak, pokud zde nakreslíme oblouk, stane se něco parádního. Pokud bychom měli oblouk, který opisuje tyto tvary, máme něco... vzor, kterého jste si možná všimli mnohokrát předtím. A tento vzor se tolik neliší od toho, co můžete vidět na něčem, jako je hlemýždí ulita. A objevuje se na všech možných místech v přírodě. A to dává smysl, protože to je způsob, jakým se vytváří buňky. Dává smysl, že to bude stejné v různých měřítkách, a poměr z jednoho měřítka do jiného bude zřejmě stejný, konstantní poměr. Tohle, to se objevuje všude v umění, hodně v malbách Leonarda da Vinciho On nikdy, tedy ne výslovně, neuvedl, ale je v nich spousta zajímavých poměrů. Ale Salvador Dali, tato malba zde "Svátost poslední večeře" zde výhradně použil zlatý řez. Takže poměr šířky a výšky je zlatý řez. Toto je zlatý obdélník. A také jsou zde všechny druhy poměrů a pobízím vás je prozkoumat, poměry různých částí na stolech k místu, kde v malbě stojí, to je zlatý poměr. Objevuje se toho zde mnoho. A pak tu má pětiúhelník zde a víme, že poměr úhlopříček ku stranám pětiúhelníku je také zlatý poměr. A to, že se to naučil, byla opravdu skvělá věc. A je zde spoustu pěkných věcí, které pokud najdete, budete vědět kam se tito dva muži klaní dolů. Pokud zde nakreslíte čáru, toto je zlatý řez. Poměr této délky zde ku této délce zde, opět zlatý řez. Stále se v této malbě objevuje Je to opravdu parádní věc a opravdu vám doporučuji to prozkoumat více, protože to je velmi zajímavé.
video