Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků (10/13) · 9:53

Náročnější příklad na podobnost trojúhelníků Pokud vám předchozí příklady připadají jednoduché, vyzkoušejte tento pokročilý. K řešení budeme využívat soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

Navazuje na Pythagorova věta.
Máme takovéto zadání a naším úkolem je zjistit, jak je dlouhá strana CF. Už od pohledu můžeme odhadnout, že to budem řešit pomocí podobných trojúhelníků. Minimálně vidíme, že trojúhelník CFE je podobný trojúhelníku ABE. A podobně to bude s trojúhelníky CFB a DEB. Všechno ale teprve musíme dokázat. Potom teprve budeme řešit poměry mezi trojúhelníky a vypočteme CF. Nejdříve pojďme dokázat, že toto jsou podobné trojúhelníky. Úhel ABE je pravý, stejně tak i úhel CFE. Takže stačí ještě najít jeden shodný úhel, který se nachází v obou trojúhelnících a máme důkaz toho, že trojúhelníky jsou podobné. Vidíme, že oba trojúhelníky sdílí úhel u vrcholu E, úhel CEF je shodný s AEB. A už máme nalezené dva shodné úhly ve zkoumaných trojúhelnících, a pokud mají dva trojúhelníky 2 shodné úhly, jsou si trojúhelníky podobné. Můžeme také vidět, že tato strana je podobná této, protože tyto dva úhly na vrcholech jsou shodné s těmito. Nesporně to tedy jsou shodné trojúhelníky. Sepíšeme si to vedle, trojúhelník ABE je podobný trojúhelníku CFE. Musíme mít písmenka ve správném pořadí. Pravý úhel máme v prvním případě u vrcholu F a v druhém u vrcholu B. U vrcholu E je společný, oranžově vyznačený úhel. Tedy, je to tak, ABC je podobný CFE. Pojďme stejně prozkoumat druhou stranu, u trojúhelníku DEB. Začněme zase s pravými úhly, v trojúhelníku DEB je při vrcholu E. V trojúhelníku CFB ho máme při vrcholu B. Tady ten pravý úhel můžeme pojmenovat jak DEF tak DEB, je to na vás. Našli jsme tedy první shodný úhel u obou trojúhelníků. Znovu vidíme, že oba trojúhelníky sdílí úhel u vrcholu B. Vyznačím trojúhelník, který nás teď zajímá, je to tedy ten malý nalevo. Tento malý tedy sdílí s velkým tento zeleně vyznačený úhel. Jinak řečeno, úhel DBE je shodný s úhlem CBF. Zjistili jsme, že tento úhel je shodný s tímto a že tento zelený úhel je součástí obou zkoumaných trojúhelníků. Máme tedy dva shodné úhly v obou trojúhelnících, z toho vyplývá, že tento velký trojúhelník musí být podobný tomuto malému. Zase si to napíšeme, trojúhelník DEB je podobný trojúhelníku CFB. A co dál? Víme, že pokud zjistíme poměr, ve kterém jsou si trojúhelníky podobné, můžeme dopočítat všechny strany, neboť ty jsou také v tomto poměru. Tady ale známe jen jednu stranu v případě trojúhelníků ABE a CFE. Stejně tak v případě trojúhelníků DEB a CFB, což je dost málo. To je důvod toho, proč i v názvu stojí, že je to náročnější příklad. Pojďme si stranu, kterou sdílí oba velké trojúhelníky, myslím stranu BE, označit jako y. Zase to napíšu, tahle celá strana je "y". Mělo by nám to trochu pomoci. Strana "y" je sdílena oběma trojúhelníky, ABE a DBE, což by mohlo být užitečné. Teď se pojďme zaměřit na menší trojúhelníky. Stranu BF si označím jako "x" Strana FE potom musí být y minus x. Teď jsme si tu zavedli řadu proměnných, doufejme, že nám to pomůže se zorientovat a pohnout s tímto příkladem. Pojďme se teď věnovat podobným trojúhelníkům. Chceme pořád zjistit, jak je dlouhá CF. Víme jen to, že poměr (koeficient podobnosti) bude konstanta. Například poměr mezi stranou CF a AB, která má délku 9, bude: CF děleno 9 a to musí být rovno poměru y minus x, což je tato strana, děleno příslušnou stranou ve větším trojúhelníku. To je tato celá strana a tu jsme si označili "y". Tedy ten poměr je roven (y minus x) děleno y. Pojďme si to maličko zjednodušit. Anebo ještě ne, uděláme to samé pro druhou dvojici podobných trojúhelníků. Nejdřív si zase napíšeme poměr. Řešíme teď trojúhelníky DEB a CFB. Strana CF teď přísluší straně DE, proto píšu CF děleno DE. A to se rovná x.. ..použiji jinou barvu.. x děleno celá tato základna, kterou máme označenou jako y. Tohle nevypadá dobře, máme tři neznámé a jen dvě rovnice. Teď to vypadá, že máme vlastně čtyři neznámé, ale DE ve skutečnosti známe. Místo DE tady napíšu 12. Poměr CF ku 12 je roven poměru x ku y. Máme ale pořád tři neznámé a jen dvě rovnice, což nevypadá moc dobře na vyřešení. Navíc se tu ty neznámé vyskytují mnohokrát. Naštěstí dokážu upravit tento zlomek způsobem, který nám hodně pomůže. Vznikne mi x děleno y a to už můžeme zasubstituovat. Levou rovnici můžeme přepsat jako CF děleno 9 se rovná.. Zlomek na druhé straně můžu rozdělit na y děleno y minus x děleno y. Neboli můžu psát 1 minus x děleno y. V podstatě jsem jen udělal opačný proces převádění na společného jmenovatele. Nejdřív rozdělení na dva zlomky, y děleno y minus x děleno y, tedy 1 minus x děleno y. Tohle nám hodně pomohlo, protože už víme, kolik je x děleno y. X ku y je rovno CF ku 12. Tedy zlomek v této první rovnici můžu nahradit zlomkem CF děleno 12. Takže dostáváme CF děleno 9 se rovná 1 minus CF děleno 12. A najednou máme jednu rovnici s jednou neznámou. To umíme řešit. Nejdříve si dáme členy s CF na stejnou stranu. Získáme CF děleno 9 plus CF děleno 12 je rovno 1. Potřebujeme najít nejmenší společný násobek čísel 9 a 12, což je 36. 9 krát 4 je 36, první zlomek vynásobím čtyřmi, tedy 4 krát CF. Pro kontrolu, 4 krát CF děleno 36 je to samé jako CF děleno 9, dobře. Plus 3 krát CF lomeno 36. A to je rovno 1. Sečteme a získáme 7 CF děleno 36 se rovná 1. K získání CF nám stačí už jen vynásobit celou rovnici třicetišesti sedminami. Na levé straně se vše pokrátí a zbyde jen CF. Finální podoba je potom, teď bychom zasloužili potlesk, CF je rovno 1 krát 36 děleno 7. Tohle je pěkný příklad. Ukazuje nám, že pokud známe 2 věci, tohle může být nějaká tyčka třeba nebo stěna domu nebo cokoliv jiného. Pokud je tohle dlouhé 9 stop či yardů nebo metrů, A tenhle druhý je roven 12 metrů, yardů nebo čehokoli jiného, tak pokud tady natáhnete lana z každého z nich dolů na základu, Z vrchu jednoho na patu druhého, nehledě na to, jak budou od sebe daleko, tak místo, kde se lana střetnou bude 36 sedmin nad zemí. A nezáleží na vzdálenosti, protože nám "y" vypadlo z výpočtu. Proto si myslím, že je to celkem zajímavý příklad.
video