Shodnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků (14/14) · 8:16

Úloha na výpočet úhlu zadaného pomocí čtverce a kružnice Na závěr nás čeká složitější příklad, ve kterém máme zadán čtverec s vepsaným čtvrtkruhem a naší úkolem je dopočítat úhel.

Navazuje na Podobnost trojúhelníků.
Máme dáno, že čtyřúhelník ABCD je čtverec, což znamená, že má 4 stejně dlouhé strany, a všechny vnitřní úhly mají 90 stupňů. Také máme dáno, že FG půlí BC na dvě stejné části. A je na ní kolmá. Toto je 90 stupňový úhel a půlí BC. Tato délka je rovna této délce. Dále máme dáno, že oblouk AC, označený obloučkem, oblouk AC je částí kružnice B. To je kružnice se středem v bodě B. Takže toto je střed kružnice a toto je část kružnice. Je to levá dolní část kružnice. Na základě daných informací chtějí, abychom zjistili, jaká je velikost úhlu BED. Kde je BED? Zde je BED. Máme vypočítat velikost tohoto úhlu. Doporučuji vám zastavit video a zkusit si to. Můžete ho zastavit a zkusit to bez jakékoli nápovědy. Pokud jste to už jednou zkusili a nevyřešili jste to, dám vám nápovědu. Zkuste video zastavit a vypočítat to znovu. Zkuste například sestrojit trojúhelníky, které rozdělí tento úhel na různé jiné úhly. Bude to tak snazší. Můžete použít něco z toho, co již o trojúhelnících víte. Pojďme to tedy zkusit. Vy si video můžete zastavit kdykoliv budete mít pocit, že už sami víte, jak to vypočítat. Finta je v tom, že je třeba si uvědomit, že toto je kružnice. Takže každá přímka, která půjde od bodu B k jakémukoliv bodu na oblouku, se bude rovnat poloměru kružnice. Takže AB se rovná poloměru kružnice, BE se rovná poloměru kružnice a takto můžeme dále kreslit úsečky, které se rovnají poloměru. I BC se rovná poloměru kružnice. Zapřemýšlejme nad tím. Mnoho příkladů v geometrii je právě o tom nakreslit tu správnou přímku, nebo si všimnout správného trojúhelníku. Tak to uděláme i zde. Určitě vám to pomůže najít způsob, jak vypočítat tento příklad. Nakreslete si úsečku EC. Nakreslete ji co nejrovnější. Umím to i hezčí. Toto je úsečka EC. Toto bude nyní zajímavé. Jaký je vztah mezi trojúhelníky EBG a ECG? Co mají společného? Mají společnou tuto stranu. Mají společnou stranu EG. Taktéž i BG je stejná jako GC a oba mají 90 stupňový úhel. Zde je 90 stupňový úhel a zde je také 90 stupňový úhel. Podle věty strana úhel strana (SUS) jsou tyto dva trojúhelníky shodné. Trojúhelník EBG je shodný s trojúhelníkem ECG. Zdůrazňuji bod C, ne E, ECG, podle věty strana úhel strana. Shodnost podle věty SUS. Díky tomu víme, že i všechny odpovídající si úhly a strany budou shodné. To znamená, že EC se rovná EB. EC se rovná EB. Víme, že EB se rovná EC. Co vlastně představují tyto délky? Je to poloměr kružnice. BE je jeden poloměr kružnice, který jde od středu ke oblouku, stejně jako BC. BC je také poloměr kružnice, který jde od středu ke oblouku. Takže toto se bude rovnat i BC. Nakreslím sem tři čárky, protože je také shodná. Mluvíme o celé této straně, ne o její části. Celá strana BC. Jaký je toto vlastně trojúhelník? Trojúhelník BEC. Trojúhelník BEC je rovnostranný. Rovnostranný. Víme to proto, že má všechny tři strany stejné. Což znamená, že i všechny úhly má stejné. Čili velikost úhlu BEC, BEC, to je část našeho úhlu, je 60 stupňů. Velikost úhlu BEC je 60 stupňů. Část máme vypočtenou. BEC je část úhlu BED. Už nám stačí vypočítat jen velikost úhlu CED. Pokud bychom vypočítali tento úhel, připočetli bychom ho k 60 stupňům a máme to. Vypočítali bychom celý úhel BED. Zapřemýšlejme, jak bychom to udělali. Máme tu pár věcí, které už víme. Víme, že tato úsečka se rovná poloměru kružnice. Také víme, že tato strana, tohle je čtverec, takže tato strana dole je stejná jako tato strana. Mají stejnou délku. A zároveň tato strana se rovná poloměru kružnice. Máme tu tyto 3 čárky. BC má stejnou délku jako tato úsečka a jak tato úsečka, takže i všechny 4 strany budou mít stejnou délku, protože to je čtverec. Sepišme si to. Protože to je čtverec. Napíšu to jen takto. Protože to je čtverec, víme, že CD se rovná BC, která se rovná EC, ale to jsme tu již výše napsali. A to se rovná EB a to se rovná EC. Důležité je uvědomit si, že tato strana a tato mají stejnou délku. Je to důležité, protože díky tomu víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník. Je to rovnoramenný trojúhelník. V rovnoramenném trojúhelníku jsou dvě ramena a dva úhly při základně shodné. Takže tyto dva zelené úhly budou mít stejnou velikost. Nějak bychom mohli vypočítat tento úhel, odečíst ho od 180 a vydělit 2, abychom zjistili velikost těchto dvou, jelikož jsou stejné. Jak vypočítáme tento úhel? Víme velikost těchto úhlů nahoře. Víme jak je vypočítat, protože to je rovnostranný trojúhelník. Takže tento úhel musí mít také 60 stupňů. Tento má 60 stupňů a tento má také 60 stupňů. Mohu to sem napsat. Rovná se úhlu BCE. Velikosti úhlu BCE. Má 60 stupňů. Víme, že toto je čtverec. Takže tento celý úhel je pravý úhel. Jaká je velikost úhlu ECD? Kolik má tento úhel? Použiji jinou barvu. Tento úhel bude mít 30 stupňů. Má 30 stupňů. A teď to už víme vypočítat. Už víme vypočítat tyto dva úhly při základně. Pokud si ho označíme jako x a tento také x, protože jsou stejné, dostaneme x plus x plus 30 stupňů, x plus x plus 30 stupňů se rovná 180 stupňů. Je to součet všech vnitřních úhlů trojúhelníku. Dostaneme 2x, 2x plus 30 se rovná 180 stupňů. Odečteme 30 z obou stran rovnice a dostaneme 2x se rovná 150. Vydělíme obě strany dvěma a dostaneme x se rovná 75. Vyšlo nám, že x je 75. Jsme skoro na konci. Máme vypočítat úhel BED. Takže toto se rovná, x se rovná velikosti úhlu CED. Úhel BED je vlastně CED plus BEC. Takže 60 stupňů plus 75 stupňů. To bude ... Jste připraveni? To bude ... 75 stupňů plus 60 stupňů se rovná 135 stupňů. Hotovo.
video