Úhly II
Přihlásit se
Úhly II (10/13) · 5:18

Důkaz rovnoběžnosti dvou přímek pomocí shodných velikostí souhlasných úhlů Dokážeme si, že máme-li dvě různoběžné přímky a k jedné nakreslím rovnoběžku, bude s druhou svírat stejný úhel jako s tou první.

Navazuje na Úhly.
Víme, že pokud máme dvě přímky, které jsou rovnoběžné, nakreslím je, 'l' a 'm', toto je přímka 'l' a přímka 'm', víme, že pokud jsou rovnoběžné a máme nakreslit příčku, která obě přímky protíná, souhlasné úhly jsou stejné. Tento úhel je x, tento je y. Takže pokud 'l' je rovnoběžná s 'm', pak x se rovná y. V tomto videu bych to chtěl dokázat opačně. Takže toto již víme, že platí. Já bych chtěl dokázat, že pokud x se rovná y, pak 'l' je rovnoběžná s 'm'. Můžeme to dokazovat oboustranně. Pokud jsou rovnoběžné, pak souhlasné úhly jsou shodné, a já chci ukázat, že pokud jsou souhlasné úhly shodné, pak jsou přímky určitě rovnoběžné. Umíme to díky sporům. Takže toto je náš cíl. Jdeme předpokládat, že toto není pravda. Jdeme předpokládat, že x se rovná y a 'l' není rovnoběžná s 'm'. Pojďme zkusit, co nám z toho vznikne. Takže 'l' a 'm' nejsou rovnoběžné, jsou to různé přímky, a budou se v nějakém bodě protínat. Toto je přímka l, sem si nakreslit přímku m, budou se protínat. Podle definice, pokud 2 přímky nejsou rovnoběžné, pak se protínají. Takže toto bude m, a toto bude naše příčka, nakreslím ji takto. Toto je x, toto je y, předpokládejme, že y se rovná x, takže velikost tohoto úhlu můžeme také nazvat x. Pokud máme toto dáno a v obou případech předpokládáme, že tato přímka má určitou délku, není nulová, takže nebude mít délku 0, tato úsečka mezi body A a B, délka úsečky AB je větší než 0, to platí v obou případech. AB je větší než 0. Takže pokud předpokládáme, že tyto 2 přímky nejsou rovnoběžné, vytvořili jsme si tu pěkný trojúhelník, ve kterém AB je jedna strana trojúhelníku, tento průsečík můžeme nazvat C, další dvě strany jsou úsečky BC a AC. Už jsme se něco naučili o zjišťování velikostí úhlů v trojúhelníku. Podívejme se, co se stane, když využijeme naše znalosti. Tento úhel nahoře je x, je to vedlejší úhel k tomuto úhlu, takže tento úhel bude mít velikost 180 minus x. Pak víme, že tento úhel tento úhel a tento poslední úhel, nazvěme ho úhel z. Víme, že součet těchto vnitřních úhlů v trojúhelníku bude 180 stupňů. Takže víme, že x plus 180 minus x plus z, se bude rovnat 180 stupňů. Tyto x se nám odečítají, 180 odečteme z obou stran rovnice a dostaneme, že z se rovná 0. Takže pokud předpokládáme, že x se rovná y a 'l' není rovnoběžná s 'm', dostaneme se do této zvláštní situace, kdy úhel v průsečíku těchto dvou přímek, které nejsou rovnoběžné, se bude rovnat 0 stupňů. A to je nesmysl, protože 0 stupňů znamená, že tento úhel se vůbec neotvírá, což by znamenalo, že délka AB by musela být také 0. Už by to nebyl trojúhelník, ale jen přímka. Tyto dvě přímky by se spojily a už by nevytvořily trojúhelník. Dostali jsme se ke spornému výsledku. Tato úsečka AB by se musela rovnat 0, čili jakoby tu ani nebyla. Další sporný výsledek, na který jsme přišli, je, že tyto 2 přímky by se museli spojit, protože tam není žádný úhel mezi nimi. V obou případech máme sporný závěr. Pokud předpokládáme, že x se rovná y a 'l' není rovnoběžná s 'm', a dokážeme, že to je naprostý nesmysl, že výsledek odporuje původnímu tvrzení, pak jsme vlastně dokázali, že pokud x se rovná y, pak 'l' je rovnoběžná s 'm', protože jsme ukázali, že pokud x se rovná y, není možné, aby 'l' a 'm' byly různé přímky a aby nebyly rovnoběžné. Dokázali jsme naše tvrzení. Platí to obousměrně. Pokud jsou přímky rovnoběžné, souhlasné úhly jsou shodné. Pokud souhlasné úhly jsou shodné, přímky jsou rovnoběžné.
video