Čtyřúhelníky
Přihlásit se
Čtyřúhelníky (4/10) · 8:30

Protilehlé strany rovnoběžníku jsou shodné Důkaz, že útvar je rovnoběžník, pouze pokud jeho protilehlé strany jsou shodné. Využijeme zde věty o shodnosti trojúhelníků.

Navazuje na Kuželosečky.
V tomto videu si ukážeme několik jednoduchých důkazů u rovnoběžníku. V tomhle prvním si řekneme, že máme tento rovnoběžník ABCD, dokažme si, že protilehlé strany mají stejnou délku. Takže dokažme, že AB se rovná DC a že AD se rovná BC. Nakreslím tady diagonálu. Takže kreslím diagonálu. Tahle diagonála, podle způsobu pohledu, protíná dvě sady rovnoběžných čar, takže můžeme říct, že je to příčka. Nakreslím to trochu lépe, umím to líp. Takže, ne, to není vůbec lepší. Lepší to asi už nebude. Když se podíváme na DB, tuto diagonálu DB, můžeme se na ni dívat jako na příčku pro rovnoběžné úsečky AB a DC. A když se na to podíváme takhle, tak můžeme vidět, že úhel ABD bude shodný… Takže úhel ABD, to je tady ten úhel, bude shodný s úhlem BDC, protože jsou to střídavé vnitřní úhly. Máme příčku, rovnoběžné úsečky. Takže víme, že úhel ABD bude shodný s úhlem BDC. Tuto diagonálu DB můžeme také považovat za příčku těchto dvou rovnoběžných úseček, toho druhého páru rovnoběžných úseček AD a BC. A když se na to podíváte takhle, tak vidíte, že úhel DBC, úhel DBC tady bude shodný s úhlem ADB ze stejného důvodu, jsou to střídavé vnitřní úhly jedné příčky protínající tyto dvě rovnoběžné úsečky. Můžu tedy napsat toto. Tyhle střídavé vnitřní úhly jsou shodné, když máme příčku protínající dvě rovnoběžné úsečky. A také vidíme, že oba tyto trojúhelníky, trojúhelník ADB a trojúhelník CDB sdílí tuto stranu. Ta se samozřejmě rovná sama sobě. Tak jak nám to pomůže? Možná jste si uvědomili, že jsme právě ukázali, že oba trojúhelníky mají společný růžový úhel, tuto stranu a tento zelený úhel. Růžový úhel a stranu mají společnou a potom tento zelený úhel. Právě jsme dokázali podle věty úhel-strana-úhel, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Napíšu to. Dokázali jsme, že trojúhelník… Půjdu od neoznačeného k růžovému a zelenému. ADB je shodný s trojúhelníkem… Neoznačený, růžový, zelený… CBD. A to vychází z věty o shodě úhel-strana-úhel. Toto je tedy shoda úhel-strana-úhel. Co to pro nás znamená? Když jsou tyto dva trojúhelníky shodné, pak jsou všechny odpovídající si části těchto trojúhelníků také shodné. Strana DC odpovídá straně BA… Strana DC toho spodního trojúhelníku odpovídá straně BA horního trojúhelníku. Takže musí být shodné. Tedy DC… DC se bude rovnat BA a to proto, že jsou to odpovídající si strany shodných trojúhelníků. Toto se bude rovnat tomuto a podle stejného principu, AD odpovídá CB. AD odpovídá CB. AD je rovno CB a to podle stejného principu. Jsou to odpovídající si strany shodných trojúhelníků. A máme hotovo. Dokázali jsme, že protilehlé strany jsou shodné. Teď půjdeme opačně. Řekněme, že máme nějaký čtyřúhelník a víme, že jeho protilehlé strany jsou shodné. Můžeme dokázat, že je to rovnoběžník? Je to ten samý důkaz, ale pozpátku. Nakresleme si diagonálu. Protože toho víme hodně o trojúhelnících. Takže nakreslím… Tady to máme. Tohle je nejtěžší. Nakreslím… To je docela dobré. Tedy víme, že CB se bude rovnat sama sobě. Nakreslím to takto. Je to jasné, je to ta stejná čára. Pak tu máme něco zajímavého. Rozdělili jsme tento čtyřúhelník na dva trojúhelníky. Trojúhelník ACB a trojúhelník DBC. A všimněte si, tři strany těchto dvou trojúhelníků jsou navzájem shodné. Tedy podle věty strana-strana-strana jsou shodné. Víme, že trojúhelník A… Začnu na A a půjdu ke kratší straně, takže ACB je shodný s trojúhelníkem DBC. A je to shoda strana-strana-strana. Co to pro nás znamená? Říká nám to, že všechny odpovídající si úhly budou shodné. Například ABC, úhel ABC bude… Vyznačím to. Úhel ABC bude shodný s… Vidíte ABC, ten bude shodný s úhlem DCB. Úhel DCB, protože jsou to odpovídající si úhly shodných trojúhelníků. Trochu jsem to zkrátil, abych ušetřil čas. Takže ABC bude shodný s DCB. Tyto dva úhly budou shodné. A to je zajímavé, protože tady máme čáru, která protíná AB a CD a jasně vidíme, že tyto úhly, které mohou být střídavé vnitřní úhly, budou shodné. A protože máme tyto shodné vnitřní střídavé úhly, víme, že AB musí být rovnoběžná s CD. Toto musí být rovnoběžné s tímto. Víme, že AB je rovnoběžná s CD podle střídavých úhlů příčky protínající dvě rovnoběžky. Podle stejného principu víme, že úhel… Ať to mám správně. Úhel ACB je shodný s úhlem DBC. A víme to proto, že odpovídající si úhly shodných trojúhelníků jsou shodné. Jen říkáme, že tento úhel je stejný jako tento úhel. Ještě jednou, toto jsou střídavé vnitřní úhly, vypadají na to, toto je příčka a tyto dvě úsečky, a nevíme, zda jsou rovnoběžné, ale protože střídavé vnitřní úhly jsou shodné, tak víme, že jsou rovnoběžné. Takže toto je rovnoběžné s tímto. Víme, že AC je rovnoběžná s BD díky střídavým vnitřním úhlům. A máme hotovo. Co jsme teď udělali je zajímavé. Dokázali jsme, že když máme rovnoběžník, jeho protilehlé strany mají stejnou délku. A když mají protilehlé strany stejnou délku, pak máme rovnoběžník. Dokázali jsme to oběma směry. A můžeme tedy použít definici „právě tehdy...“ . Můžete říct: „Když jsou protilehlé strany čtyřúhelníku rovnoběžné…“. Nebo: „Protilehlé strany čtyřúhelníku jsou rovnoběžné právě tehdy, když mají stejnou délku.“ A můžete říct „právě tehdy“. Takže když jsou rovnoběžné, pak lze říct, že mají stejnou délku a pouze pokud jsou jejich délky shodné, pak jsou rovnoběžné. Dokázali jsme to oběma směry.
video