Čtyřúhelníky
Přihlásit se
Čtyřúhelníky (7/10) · 4:04

Úhlopříčky kosočtverce Zde si dokážeme, že úhlopříčky kosočtverce se nejen půlí, ale navíc jsou na sebe kolmé.

Navazuje na Kuželosečky.
Čtyřúhelník ABCD je kosočtverec. Máme dokázat, že jeho úhlopříčky jsou kolmé, že AC je kolmá na BD. Pojďme se zamyslet, co všechno víme o kosočtverci. Zaprvé, kosočtverec je speciální případ rovnoběžníku. Rovnoběžník má protilehlé strany rovnoběžné, tato strana je rovnoběžná s touto. Tyto dvě strany jsou rovnoběžné. V kosočtvercích nejsou rovnoběžné pouze protilehlé strany, ale také všechny strany, které mají stejnou délku. Tato strana je rovna této, která je rovna této straně, která je rovna této straně. Je tu ještě další zajímavá věc, kterou víme o úhlopříčkách rovnoběžníku. (Přičemž víme, že všechny kosočtverce jsou rovnoběžníky. Opačně to platit nemusí.) Víme, že pro každý rovnoběžník platí (a kosočtverec je rovnoběžník), že jeho úhlopříčky se navzájem půlí. Například, označme tento bod ve středu písmenem E. Víme, že vzdálenost AE je rovna EC (označím to dvěma lomítky). Také víme, že vzdálenost EB je rovna vzdálenosti ED. Tohle je všechno, co víme, když někdo řekne, že ABCD je kosočtverec, vzhledem k znalostem, které jsme si dokázali. Teď dokážeme, že AC je kolmá na BD. Zajímavý způsob, jakým to můžeme dokázat (a můžeme to jednoduše odpozorovat), je takový, že dokážeme, že tenhle trojúhelník je shodný s tímto a že tyto dva úhly si navzájem odpovídají. Pak musí být stejné, jsou doplňkové a každý z nich má 90 stupňů. To si nyní dokážeme. První věc, kterou vidíme, je, že máme stranu, stranu a stranu. A stranu a stranu a stranu. Takže můžeme vidět, že trojúhelník... Budu psát novou barvou. Vidíme, že trojúhelník ABE je shodný s trojúhelníkem CBE. A to víme za pomocí věty o shodnosti trojúhelníku SSS (strana - strana - strana). Jakmile to víme, víme také, že všechny odpovídající si úhly jsou shodné. Zejména víme, že úhel AEB je shodný s úhlem CEB, protože jsou to navzájem si odpovídající úhly ve shodných trojúhelnících. Tenhle úhel tady je roven tomuto úhlu. Také víme, že jsou to doplňkové úhly. Napíšu to takhle. Jsou shodné a jsou doplňkové. Tyto dva mají stejnou velikost a a dohromady dávají součet 180 stupňů. Pokud mám dvě věci, které jsou stejné a dohromady dávají součet 180°, co mi to říká? To mi říká, že velikost úhlu AEB je stejná jako velikost úhlu CEB, což musí být úhel roven 90 stupňům. Jsou stejné velikosti a jsou doplňkové. Tohle je pravý úhel a pak, tohle je pravý úhel. Očividně, pokud toto je pravý úhel, pak tenhle úhel dole je vrcholový úhel, to bude pravý úhel. Tohle je pravý úhel, tohle tady bude vrcholový úhel. Můžete vidět, že úhlopříčky se půlí v 90stupňovém úhlu, a to jsme právě dokázali. Tohle je zajímavé. V rovnoběžníku se úhlopříčky půlí. V kosočtverci, kde jsou všechny strany stejné, jsme ukázali, že se nejenom navzájem půlí, ale jsou kolmicemi, které se navzájem půlí ve svém středu.
video