Soustavy rovnic I
Přihlásit se
Soustavy rovnic I (2/5) · 9:21

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic pomocí substituce Často používanou metodou k vyřešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých je substituce, neboli nahrazení. Zde je tato metoda ukázána na několika příkladech.

Navazuje na Lineární rovnice II.
V minulém videu jsme si ukázali, co jsou soustavy rovnic. V tomto videu vám ukážu jednu algebraickou metodu pro řešení soustav rovnic, kde nemusíte rýsovat dvě přímky a snažit se přijít na to, kde se protnou. Toto vám dá přesnou algebraickou odpověď. A v dalších videích uvidíme více způsobů řešení. Řekněme, že máme dvě rovnice. První je 'x' plus '2y' = 9 a druhá rovnice je '3x' plus '5y' = 20. Pokud bychom dělali to co minule, narýsovali bychom si každou z nich. Jsou to přímky. Můžete je zapsat buď ve směrnicovém tvaru nebo ve tvaru rovnice přímky určené bodem. Teď jsou v obecném tvaru. Pak byste mohli nakreslit každou z nich, zjistit, kde se protnou, a to by bylo řešením. Někdy je obtížné přijít na to pouze pohledem, zjistit, kde přesně se protnou. Pojďme přijít na algebraický způsob. A uděláme to pomocí substituce. Použiji jednu rovnici k vyřešení pro jednu proměnnou a pak ji dosadím zpátky a zjistím druhou proměnnou. Ukážu vám, o čem mluvím. Vyjádřím z horní rovnice 'x'. Rovnice nahoře říká, že 'x' plus '2y' = 9. Chci vyjádřit 'x', takže odečtu '2y' od obou stran rovnice. Takže mi zbude 'x' = 9 minus '2y'. Tohle říká první rovnice. Jen jsem to trošku přeskládal. Tohle tvrdí první rovnice. Aby splnilo obě dvě rovnice, 'x' musí splnit tuto svazující podmínku. Teď mohu tohle dosadit za 'x'. Tato rovnice nahoře říká, že 'x' musí být rovno tomuto. Pokud se 'x' musí rovnat tomuto, dosaďme tedy tohle za 'x'. Takže z druhé rovnice bude 3 krát 'x'… A namísto 'x' napíšu tohle, 9 minus '2y'. 3 krát (9 minus '2y') plus '5y' = 20 Proto substituční metoda. Dosadil jsem za 'x'. A důvod, proč je to užitečné, je, že teď mám jen jednu rovnici s jednou neznámou a vyjádřím si 'y'. Takže to udělejme. 3 krát 9 = 27. 3 krát ('-2y') = '-6y', plus '5y' se rovná 20. Sečtu '-6y' plus '5y', sečtu tyto dva členy. Máme 27, tohle bude '-y', se rovná 20. Odečtěme 27 od obou stran. A získáme… napíšu to sem. Odečtěme 27 od obou stran. Na levé straně se 27 vykrátí. Zůstane '-y' se rovná 20 minus 27, což je -7. Pak můžeme obě strany rovnice vynásobit (-1). Dostaneme 'y' = 7. Našli jsme souřadnici 'y' průsečíku těchto dvou přímek. 'y' = 7. Napíšu to sem, ať se nemusím posouvat dolů a zase nahoru. 'y' = 7 Když známe 'y', můžeme najít i 'x'. 'x' = 9 minus '2y' Udělejme to. 'x' = 9 minus 2 krát 'y' 2 krát 7 Neboli 'x' = 9 minus 14, tedy 'x' = -5. Takže jsme, pomocí substituce, byli schopni najít pár [x,y], který splňuje tyto rovnice. Bod 'x' = -5 a 'y' = 7 splňuje obě rovnice. Můžete si to zkontrolovat. -5 plus 2 krát 7 je -5 plus 14, to je opravdu 9. Uděláte tuto rovnici. 3 krát (-5) je -15, plus 5 krát 'y', plus 5 krát 7. -15 plus 35 je skutečně 20. Takže splňuje obě rovnice. Kdybyste chtěli nakreslit obě rovnice, protnuly by se v bodě [-5,7]. Použijme naši novou schopnost k vyřešení slovní úlohy. Řekněme, že máme zadaný součet dvou čísel roven 70. A liší se, mohl bych říct, že jejich rozdíl je… Liší se o 11. Jaká to jsou čísla? Jaká to jsou čísla? Vyřešme tedy tuto slovní úlohu. Definujme si nějaké proměnné. Řekněme, že 'x' bude větší číslo a 'y' bude menší číslo. Jen si libovolně vytvářím proměnné. Jedna je větší než druhá. Liší se o 11. První tvrzení, že součet dvou čísel je 70, to nám říká, že 'x' plus 'y' se musí rovnat 70. Druhé tvrzení, že se liší o 11, to nám říká, že větší číslo minus menší číslo musí být 11. To nám říká, že 'x' minus 'y' musí být 11. Tady to máme. Máme dvě rovnice a dvě neznámé. Máme soustavu dvou rovnic. Můžeme to vyřešit pomocí substituční neboli dosazovací metody. Vyjádřeme si tedy 'x' z této rovnice. Pokud byste přičetli 'y' k oběma stranám rovnice, co byste dostali? Na levé straně dostanete 'x', neboť se tohle pokrátí. A na pravé straně dostanete 'x' = 11 plus 'y'. Neboli 'y' plus 11. Takže díky druhé rovnici máme 'x' = 11 plus 'y' A pak ji můžeme dosadit do vrchní rovnice. Takže místo psaní 'x' plus 'y' je 70, můžeme dosadit tohle za 'x'. Už jsme použili druhou rovnici, tu fialovou, teď musíme použít horní podmínku. Pokud to tedy dosadíme, dostaneme 'y' plus 11… Pamatujte, tohle bylo 'x', dosazujeme za 'x'. … plus 'y' se rovná 70. Tohle je 'x'. Tento vztah jsme získali z druhé rovnice, z toho druhého tvrzení. Jen jsem za 'x' dosadil ('y' plus 11), a to jsem mohl udělat, protože to je podmínka, kterou nám dala druhá rovnice. Teď vyjádřeme 'y'. Dostaneme 'y' plus 11 plus 'y' = 70 To je '2y' plus 11 = 70 Pokud bychom odečetli 11 od obou stran, dostaneme, že '2y' je rovno… Co to je, 59? Odečtete 10 od 70, dostanete 60, takže to bude 59. Takže 'y' je rovno 59 lomeno 2. Nebo to také můžete zapsat jinak, 59 lomeno 2 je to samé jako, podívejme… 25… 29,5. 'y' = 29,5 Čemu se tedy bude rovnat 'x'? Už jsme přišli na to, že 'x' = 'y' plus 11 Takže 'x' bude rovno 29,5… … to je 'y', na to jsme zrovna přišli… … plus 11, což je rovno… … přičtete 10, dostanete 39,5 a přidáte 1, dostanete 40,5. A jsme hotovi. Pokud byste chtěli najít průsečík těchto dvou přímek, byl by v bodě [40,5; 29,5]. A mohli byste použít tuto rovnici pro vyjádření 'x' a dosadit do této. Mohli byste použít tuto pro vyjádření 'y' a dosadit do této. Mohli byste použít tuto rovnici pro vyjádření 'y' a dosadit do této. Důležité je, že použijete obě podmínky. Teď si jen ověřme, že to opravdu platí. Jaký je součet těchto čísel? 40,5 plus 29,5 je skutečně 70. A rozdíl mezi nimi je vskutku 11. Jsou od sebe přesně 11. Snad vám to přijde užitečné.
video