Soustavy rovnic I
Přihlásit se
Soustavy rovnic I (3/5) · 12:44

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic pomocí eliminace V některých případech je výhodné k řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých použít takzvanou eliminaci, neboli vyloučení. Zde se dozvíte, jak na ni.

Navazuje na Lineární rovnice II.
Pojďme objevit další metody pro řešení soustavy rovnic. Řekněme, že mám rovnici 3x plus 4y se rovná 2,5 a že mám další rovnici 5x minus 4y se rovná 25,5. A chceme najít pár [x,y], který splňuje obě tyto rovnice. Když se nad tím zamyslíte graficky, byl by to průsečík přímek, který znázorňuje množinu řešení obou těchto rovnic. Jak budeme postupovat? Jak jsme viděli v substituci, rádi se zbavujeme jedné z proměnných. Minule jsme to udělali substitucí. Ale je tu něco co můžeme přičíst nebo odečíst… Zaměřme se na tu žlutou horní rovnici. Je tu něco co můžeme přičíst nebo odečíst od obou stran rovnice? Pamatujte, vždy když pracujete s rovnicí, musíte přičíst nebo odečíst od obou stran. Je něco co lze přičíst či odečíst od obou stran rovnice, co by nám pomohlo zbavit se jedné proměnné? Pak bychom měli jednu rovnici s jednou neznámou a mohli bychom ji řešit. A možná vám to není příliš jasné, i když to máte přimo pod nosem. Co kdybychom sečetli tuhle rovnici k této? Co tím myslím je, co kdybychom přičetli (5x minus 4y) k levé straně a 25,5 k pravé straně? Kdybychom doslova přičetli tohle k levé straně a tohle k pravé straně. A asi si říkáte: „Sale, počkej, jak bys mohl takhle sečíst dvě rovnice?“ A vzpomeňte si, když pracujete s rovnicí, když máte rovnici ve tvaru… Vlastně jakoukoliv rovnici… Ax plus By se rovná C. Když chci udělat něco s touto rovnicí, musím přičíst tu stejnou věc k oběma stranám rovnice. Takže bych mohl například přičíst 'D' k oběma stranám rovnice. Protože D je rovno D, takže tím rovnici nezměním. Dostanete Ax plus By plus D se rovná C plus D. A to jsme viděli několikrát. Vše co uděláte na jedné straně musíte udělat i na té druhé. Pak řeknete: „Hej Sale, počkej, na levé straně k rovnici přičítáš 5x minus 4y na pravé straně přičítáš k rovnici 25,5. Nepřičítáš náhodou k oběma stranám rovnice různé věci?“ A má odpověd zní ne. Víme, že 5x minus 4y se rovná 25,5. Tato hodnota a tato hodnota jsou stejné. Obě jsou 25,5. Druhá rovnice mi to říká přímo. Takže tohle mohu přičíst k levé straně. V podstatě k ní přičítám 25,5. A můžu přičíst 25,5 k pravé straně. Udělejme to. Kdybych to tedy přičetl k levé straně, 3x plus 5x se rovná 8x. Pak kolik je 4y minus 4y? A to byl účel. Když jsem viděl ty rovnice, řekl jsem si, že zde mám 4y a tady mám -4y. Když bych je sečetl dohromady, tohle by se vykrátilo. Bude to plus 0y. Celý ten člen půjde pryč. A to celé bude rovno 2,5 plus 25,5 a to je 28. Takže vydělíte obě strany. Dostanete 8x se rovná 28. Vydělíte obě strany 8 a dostaneme, že 'x' je rovno 28 lomeno 8, vydělíte čitatel i jmenovatel 4, to je rovno 7 lomeno 2. To je naše 'x'. Teď chceme najít 'y'. A tohle můžeme dosadit do kterékoliv z těchto dvou rovnic. Použijme tu horní. Mohli byste to udělat i se spodní. Víme, že 3 krát 'x', 3 krát (7 lomeno 2)… Pouze dosazuji za 'x' do horní rovnice. 3 krát (7 lomeno 2) plus 4y je rovno 2,5. Jen to napíšu jako 5 polovin Zůstaneme ve světě zlomků. Tohle bude (21 lomeno 2) plus 4y je rovno (5 lomeno 2). odečteme (21 lomeno 2) od obou stran. Takže minus (21 lomeno 2), minus (21 lomeno 2). Na levé straně vám zbyde jen 4y, protože tohle se pokrátilo, je rovno… tohle je (5 minus 21) lomeno 2. To je -(16 lomeno 2). To je tedy -(16 lomeno 2), což je to samé co… Napíšu to jako -(16 lomeno 2). Nebo bychom mohli napsat… Pokračujme tady nahoře… 4y… Jen přesouvám tok myšlenek sem nahoru… 4y se rovná minus 8. Vydělíme obě strany 4, dostaneme 'y' je rovno minus 2. Takže řešení těchto rovnic je 'x' je rovno 7 lomeno 2, 'y' je rovno minus 2. Tohle by byly souřadnice průsečíku. A můžete to zkontrolovat na obou rovnicích. Zkontrolujme, zda to splňuje i spodní rovnici. 5 krát (7 lomeno 2) je (35 lomeno 2), -4 krát (minus 2), takže -(minus 8). To je rovno… Podívejme, 17,5 plus 8. Tohle je 17,5 a tohle je 8. A to je skutečně 25,5. Takže to splňuje obě rovnice. Podívejme se, zda dokážeme využít nově nabyté dovednosti k vyřešení slovní úlohy. Nové dovednosti eliminace. Tady stojí, že Naďa a Petr navštívili cukrárnu. Naďa si koupila 3 tyčinky a 4 kyselé pásky za 2,84 dolarů. Petr si také koupil 3 tyčinky, ale mohl si dovolit jen 1 kyselý pásek. Jeho nákup stál 1,79 dolarů. Jaká je cena tyčinky a kyselého pásku? Zadefinujme si nějaké proměnné. Použijme 'x' a 'y'. Nechť 'x' je cena tyčinky… Chtěl jsem použít 'c' a 'f', ale zůstanu u 'x' a 'y'. … cena tyčinky. A nechť 'y' je cena kyselého pásku. Dobrá. Co nám říká to první tvrzení? Naďa koupila 3 tyčinky, takže cena 3 tyčinek bude 3x. 3 tyčinky… 3 krát cena tyčinky. A 4 kyselé pásky. Plus 4 krát y, cena kyselého pásku. Tolik Naďa utratila. 3 tyčinky, 4 kyselé pásky. A to stálo 2,84 dolarů. To nám říká první tvrzení. To se přeneslo do této rovnice. Druhé tvrzení. Petr také koupil 3 tyčinky, ale mohl si dovolit jediný kyselý pásek. Takže plus 1 kyselý pásek. Jeho nákup stál 1,79 dolarů. Jaká je cena tyčinky a jaká je cena pásku? A vyřešíme to pomocí eliminace. Lze to vyřešit každou technikou, kterou jsme zatím viděli, substitucí, eliminací, dokonce grafem, i když je docela těžké odhadnout věci z grafu. Takže jak na to? Vzpomeňte si, v eliminaci přičteme… Zaměřme se na horní rovnici. Je zde něco co bychom mohli přičíst k oběma stranám rovnice, co by nám pomohlo zbavit se jedné proměnné? Je něco co lze přičíst nebo odečíst od obou stran rovnice, co by nám pomohlo zbavit se jedné z proměnných? Tak jako v úloze, kterou jsme dělali před chvílí, co kdybychom odečetli tuto rovnici… Co kdybychom odečetli (3x plus y) od (3x plus 4y) na levé straně a odečetli 1,79 dolarů od pravé strany? Vzpomeňte si, takto odečítáme od obou stran rovnice to samé. Tohle je 1,79 dolarů. Jak to vím? Protože to říká, že je to rovno 1,79 dolarů. Takže pokud to uděláme, odečteme to stejné od obou stran rovnice. Takže odečtěme (3x plus y) od levé strany rovnice. A udělám to tady vpravo. Kdybych odečetl (3x plus y), to je stejné jako minus 3x minus y, pokud byste roznásobili to znaménko minus. Odečtěme to tedy. Takže máme minus 3x minus y… Možná bych to měl udělat jasněji, že tohle není znaménko plus. Můžete si představit, že násobím druhou rovnici (minus 1). … se rovná minus 1,79. Beru tuhle druhou rovnici. Můžete si představit, že ji násobím (minus 1). A teď sečtu levou stranu s levou stranou této rovnice a pravou stranu s pravou stranou této rovnice. A co dostaneme? Když sečtete 3x plus 4y minus 3x minus y, 3x se odečte. 3x minus 3x je 0x. Ani to nebudu psát. Dostaneme 4x minus… Omlouvám se, 4y minus y, to je 3y. A to bude rovno 2,84 minus 1,79. To je kolik? To je 1,05 dolarů. Takže 3y je rovno 1,05 dolarů. Vydělíme obě strany 3. 'y' se rovná… Kolik je 1,05 děleno 3? 3 jde do 1,05… Do jedničky jde nulakrát. 0 krát 3 je 0. 1 minus 0 je 1. Zapíšeme 0. 3 jde do 10 třikrát. 3 krát 3 je 9. Odečtu to. 10 minus 9 je 1. Zapíšu 5. 3 jde do 15 pětkrát. 5 krát 3 je 15. Odečtu. Nemáme žádný zbytek. Takže 'y' je rovno 0,35 dolarů. Takže cena kyselého pásku je 0,35 dolarů. Teď můžeme dosadit zpátky do jedné z rovnic, abychom zjistili cenu tyčinky. Použijme tuto spodní rovnici. Která původně byla, pokud si vzpomenete, než jsem ji vynásobil (minus 1), tak byla 3x plus y se rovná 1,79. To znamená, že 3x plus cena kyselého pásku, 0,35, je rovno 1,79 dolarů. Když odečteme 0,35 od obou stran rovnice, co dostaneme? Na levé straně zbyde jen 3x, tohle se vykrátí, je rovno… podívejme, tohle je 1,79 dolarů minus 0,35 dolarů. To je 1,44 dolarů. A 3 jde do 1,44 myslím… 3 jde do 1 nulakrát. 1 krát 3 je 0. Zapíšu 1. Odečtu. Zapíšu 4. 3 jde do 14 čtyřikrát. 4 krát 3 je 12. Motám se v tom. 14 minus 12 je 2. Zapíšu 4. 3 jde do 24 osmkrát. 8 krát 3 je 24. Beze zbytku. Takže 'x' je rovno 0,48. Tady to máte. Pomocí eliminace jsme zjistili, že cena tyčinky je 0,48 dolarů a cena kyselého pásku je 0,35 dolarů.
video