Kvadratické rovnice a funkce
Přihlásit se
Kvadratické rovnice a funkce (8/27) · 6:19

Doplnění na čtverec - příklad 2 Další příklad pro ujasnění postupu při doplňování na čtverec v rámci řešení kvadratické rovnice.

Navazuje na Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou.
Zvládneme vyřešit tuto kvadratickou rovnici? x na druhou minus 2x minus 8 rovná se 0. A mimochodem, venku zrovna někdo seká dříví, takže se omlouvám, jestli v pozadí slyšíte nějaký ruch. Já se to pokusím ignorovat. Dobře, pojďme se vrátit k našemu příkladu. Existuje několik způsobů, jak tento příklad řešit. Mohli bychom zkusit rozložit levou stranu a pokračovat touto cestou, ale my budeme postupovat doplněním na čtverec. Co to ale znamená? To znamená, že si napíšu, že si napíšu levou stranu rovnice v podobě (x plus a) na druhou plus b a uvidíme, že pokud se nám podaří zapsat levou stranu v této formě, budeme moci rovnici vyřešit velmi jednoduchým způsobem. Podívejme se, jestli to půjde. Připomeneme si, jak potřebujeme přeskupit levou stranu, abychom se dostali k této podobě. Pokud chci roznásobit 'x' plus 'a' na druhou… Udělám to jinou barvou. Takže pokud chci roznásobit (x plus a) na druhou, což je 'x' na druhou plus 2ax… Udělám tady to plus pořádně… plus 2ax plus 'a' na druhou... a samozřejmě tu stále máme to plus 'b', takže plus 'b'. Pojďme to tedy zkusit zapsat v této podobě. Takže teď použiju běžný postup, když chci doplnit výraz na čtverec. Takže 'x' na druhou minus 2x. Teď si nechám malou mezeru a napíšu minus 8, nechám si další mezeru a napíšu rovná se 0. Takže jsem jen přepsal rovnici, ale nechal jsem si tu místo, abych mohl něco přičíst či odečíst, což mi ulehčí dosažení této podoby. Teď si označíme naše výrazy, x na druhou, x na druhou, 2ax, -2x. Takže když je toto 2x, 2a musí být -2, 2a se rovná -2, neboli 'a' se rovná -1. Jiný pohled je, že vaše 'a' bude polovina vašeho koeficientu prvního stupně, neboli koeficient výrazu 'x'. Takže koeficient výrazu 'x' je -2 a z toho polovina je -1. A potom chceme mít, potom chceme mít 'a' na druhou. Takže když 'a' je -1, 'a' na druhou bude +1. Sem tedy přidáme +1. Ale jak už jsme si řekli, nemůžeme si něco jen tak přidat na jednu stranu rovnice, aniž bychom to přidali na druhou nebo aniž bychom to znovu odečetli na stejné straně. V takovém případě byste totiž změnili smysl rovnice. Takže když přidám 1 na této straně, musím přidat 1 na této… Když přidám 1 nalevo, musím přidat 1 i napravo, abych zachoval platnost rovnice, nebo můžu přidat 1 a odečíst 1 z levé strany, takže vlastně nezměním hodnotu levé strany. Vlastně jsem jen přičetl 1 a odečetl 1 na levé straně. Proč jsem to tedy dělal? Protože nyní můžu… Nezměnil jsem hodnotu, jen jsem přičetl a odečetl stejnou hodnotu, ale tato část levé strany nyní odpovídá tomuto zápisu x na druhou plus 2ax, kde 'a' je -1, což dělá -2x, plus 'a' na druhou, plus -1 na druhou, a potom tady, tato část je naše plus 'b'. Takže již víme, že 'b' se rovná -9. -8 minus 1 je -9, takže to bude naše 'b', které máme tady. Takže to můžeme celé zapsat jako to, co jsem tady zeleně podtrhl, tedy (x plus a) na druhou. Takže můžeme psát 'x' plus a můžu psát 'a' jako -1. Nejdřív to radši napíšu takto: (x plus a) na druhou nebo (x plus -1). To je x minus 1, takže to napíšu jako (x minus 1) na druhou, a potom máme minus 9, minus 9 rovná se 0, rovná se 0. A potom mohu přičíst 9 k oběma stranám, abych měl na levé straně jen tento kvadratický výraz. Takže k oběma stranám přičtu 9. A zůstane mi... Na levé straně se tyto hodnoty vyruší. Proto jsem přidával tu 9. Zůstane mi tedy (x minus 1) na druhou. A to se bude rovnat, na této straně, 0 plus 9 je 9. Takže když (x minus 1)… Udělám to modrou barvou. Takže tady bude 9. Takže když (x minus 1) na druhou je 9, pokud se něco na druhou rovná 9, znamená to, že to něco bude buď kladná, nebo záporná odmocnina z 9. Takže to bude buď +3, nebo -3. Můžeme tedy říct, že 'x' minus 1 se rovná +3, nebo 'x' minus 1 se rovná -3, což vidíte tady. Pokud 'x' minus 1 je 3, 3 na druhou je 9. Pokud 'x' minus 1 je -3, -3 na druhou je 9. Takže tady stačí přidat 1 na obě strany rovnice, přidat 1 na obě strany rovnice a dostaneme 'x' rovná se 4. Nebo 'x' je, když přidáme 1 k oběma stranám této rovnice, dostaneme… Můj digitální inkoust trochu zlobí. Takže, dostaneme 'x' rovná se -3 plus 1, což je -2. Takže 'x' se může rovnat 4, nebo 'x' se může rovnat -2 a máme hotovo. Někdo si může říkat: „Proč jsme se obtěžovali doplňováním na čtverec. Mohli jsme si to jen rozložit a vyřešit to tímto způsobem.“ To je u tohoto příkladu opravdu možné. Doplnění na čtverec je dobré, protože ho můžete použít vždy. Později se naučíte kvadratický vzorec a kvadratický vzorec přímo vychází z doplnění na čtverec. Takže když používáte kvadratický vzorec, používáte vlastně výsledek doplnění na čtverec. Doufám, že se vám toto řešení líbilo.
video