Lineární nerovnice I
Přihlásit se
Lineární nerovnice I (7/9) · 5:14

Soustava dvou nerovnic 3 Spočítáme další soustavu dvou lineárních rovnic s jednou neznámou.

Navazuje na Úvod do nerovnic.
Vyřešte, čemu se rovná y. Příklad zní 3y plus 7 je menší než 2y, a zároveň je 4y plus 8 menší než minus 48. Musíme najít takové y, které splňuje obě podmínky. Pojďme nejdříve vyřešit každou nerovnost zvlášť. Ale nesmíme zapomenout na to "a zároveň". 3y plus 7 je menší než 2y. Pojďme dát všechny členy s y nalevo. Nejdříve přesuneme ty 2y. Můžeme totiž odečíst 2y od obou stran nerovnice. Odečteme 2y od obou stran. Na levé straně máme 3y minus 2y, což nám dá y plus 7, a to je menší než, 2y minus 2y, nic nezbyde a bude tam 0. Teď ještě přesuneme tu 7, od obou stran odečteme 7. Na levé straně se sedmičky odečtou a zbyde y, což je menší než 0 minus 7, což je minus 7. Tím máme vyřešenou tu první nerovnici. Pojďme se podívat na druhou nerovnici, 4y plus 8 je větší než minus 48. Nejdříve přesuneme 8 napravo. To uděláme tak, že odečteme 8 od obou stran. Nalevo nám tak zbyde pouze 4y protože 8 se odečte. Tedy 4y jsou větší než, minus 48 minus 8, odečítáme dvě záporná čísla. 48 plus 8 je 56, nesmíme zapomenout na minus, bude to tedy minus 56. Chceme z toho vytáhnout y, vydělíme proto celou rovnici čtyřkou. Dělíme kladným číslem, znaménko nerovnosti se proto měnit nebude. Obě strany teď dělím čtyřmi. Nalevo dostáváme y. y je větší než... Kolik je minus 56 děleno 4? Inu, 40 je 10 krát 4 a pak nám tam ještě 16 zbývá. Takže 56 je 14 krát 4. Vyšlo nám, že y je větší než minus 14. Mám to dobře? 4 krát 10 je 40 a 4 krát 4 je 16, dohromady 56. y musí proto být větší než minus 14, a zároveň menší než minus 7. To nám vyšlo v první nerovnici a teď nám ještě zbývá to spojit. Musíme splnit obě podmínky. Pojďme si to znázornit na číselné ose. Na své číselné ose znázorním tady minus 14. Tady potom je minus 13, minus 12, 11, 10, 9, 8 a 7. Tady je minus 7, minus 6, 5, 4, 3, 2, 1, tady potom je 0 a můžeme pokračovat dál. Chceme najít taková y, která jsou menší než minus 7. Jdeme na to, menší než minus 7. Minus 7 ta podmínka nezahrnuje, udělám proto prázdné kolečko v tomto bodě. Chceme menší než minus 7, tady začneme a mohli bychom jít do minus nekonečna. Ale máme tu ještě tu druhou podmínku, která musí zároveň být splněna. Ta nám říká, že y je větší než minus 14. V bodě minus 14 udělám prázdné kolečko a jdu od toho napravo. Pokud by tam nebyla ta druhá podmínka tak bychom pokračovali až do nekonečna. Ale protože y musí splňovat obě podmínky, proto bereme interval mezi oběma body. Uprostřed jsou y, která jsou menší než minus 7, a zároveň větší než minus 14. Můžeme si udělat kontrolu. Vyzkoušíme několik hodnot. Vezměme jedno číslo z našeho intervalu, například minus 10. Minus 10 leží tady. Zkusme to dosadit do obou nerovnic. Bude to 3 krát (minus 10) plus 7 by mělo být menší než 2 krát (minus 10). První součin dá minus 30, plus 7, což je minus 23. Což je určitě méně než minus 20. První podmínku jsme tedy s minus 10 splnili. Stejně tak musí být splněna i ta druhá. Máme tu 4 krát minus 10, což je minus 40, plus 8. A to má být větší než minus 48 Minus 40 plus 8 je minus 32, jdeme o 8 do kladného směru. a to je opravdu větší než minus 48. Je to méně v minusu. Tedy splněno. Minus 10 nám potvrdilo výsledek. Pojďme ještě vyzkoušet číslo, které by to nemělo splňovat. Například pro 0 by obě podmínky platit neměly. Je to proto, že 0 není ve výsledném intervalu. V první nerovnici 3 krát 0 plus 7 je 7, což není méně než 2 krát 0, tedy 0. Tady nám dochází k rozporu, když dosadíme 0. Pokud tam dosadím minus 15, nesplní nám to zase druhou nerovnici. A to protože to nespadá do dílčího řešení této nerovnice. Snad to pro vás bylo užitečné.
video