Soustavy rovnic III
Přihlásit se
Soustavy rovnic III (3/4) · 5:06

Soustava tří rovnic bez řešení Příklad navazující na ten předchozí. Znovu hledáme řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých. V tomto případě však takové řešení neexistuje.

Navazuje na Soustavy rovnic II.
Rozhodněte, zda má tato soustava rovnic žádné, nebo nekonečně mnoho řešení. Pojďme se zamyslet, jak na to. Může se stát, že v průběhu zjistíme, že to úplně neumíme vyřešit, když najdeme v nějaký nesmysl, takže soustava nebude mít řešení, nebo budeme muset počítat dál a zjistíme, že existuje nekonečno řešení. Ze zadání příkladu je jasné, že pouze jedno řešení není možné. Nejlepší způsob, jak vyřešit tři rovnice o třech neznámých, je zbavit se postupně neznámých ze zápisu rovnice. Napřed můžeme zkusit odstranit neznámé 'x' a když uspějeme, dostaneme se ke dvěma rovnicím o dvou neznámých. Tyto neznámé budou 'y' a 'z', pokud dokážeme spárovat zadané rovnice a odstranit 'x' v každém páru. Můžeme spárovat například první a druhou rovnici, nebo druhou a třetí. A to je vše, co potřebujeme k odstranění 'x' pořád máme dvě rovnice, které však obsahují informace ze všech třech rovnic. Třetí pár by byl první a poslední rovnice, ale ten tvořit nemusíme, stačí nám pouze 2 páry. Abych vám ukázal, co tím myslím, když řeknu párování rovnic, vezmu první dvě a odstraním z obou neznámé 'x'. V první rovnici mám 2x, v druhé mám 8x. Když přeměním 2x na -8x, můžu pak rovnice sečíst a neznámá 'x' se mi vykrátí. Nejlepší způsob, jak se dostat z 2x na -8x, je vynásobit celou první rovnici -4. A když násobím, tak musím vynásobit obě strany rovnice číslem -4. 2x krát -4 je -8x, -4y krát -4 je +16y, z krát -4 je -4z a to celé se rovná 3 krát -4, což je -12. Přepíšu druhou rovnici pod první upravenou, to je 8x minus 2y plus 4z = 7 a teď mohu obě rovnice sečíst. Vlevo se všechna "x" pokrátí, 16y minus 2y… Vykrácení x je ten důvod, proč jsme násobili rovnici -4. 16y minus 2y je 14y, -4z plus 4z se vlastně také pokrátí, takže jsme v první dvojici zbavili násobením -4 dvou neznámých najednou. Zůstane tedy 14y a to se rovná -12 plus 7, což je -5. A máme tedy vyřešenou hodnotu 'y', i když ještě nevíme, zda má rovnice řešení, ale můžeme předpokládat, že ano, jelikož nám vyšlo řešení pro 'y'… Ještě bychom mohli vydělit obě strany číslem 14, ale o tom později… Teď zkusme spárovat druhou a třetí rovnici. V druhé máme 8x, kterých se snažíme zbavit, v třetí máme -4x, které když dáme krát 2, dostaneme -8x. A ty pak můžeme pokrátit s 'x' ve vrchní rovnici. Vrchní rovnice je tedy 8x minus 2y plus 4z se rovná 7… Když jsem teď řekl "vrchní rovnice", myslel jsem tím vrchní tady. A tu spodní rovnici z druhého páru vynásobím -2. Omlouvám se, krát +2, vynásobím +2. -4x krát 2 je -8x. Ještě jednou, násobím číslem 2. Takže 2 krát -4x je -8x, 2 krát y je +2y, 2 krát -2z je -4z, 2 krát -14 je -28. A teď sečteme obě rovnice, obě jejich strany. Toto se vykrátí, toto taky a toto taky. Vlastně nezbude nic na levé straně rovnice, protože zůstane 0 plus 0 plus 0, a na pravé straně je 7 plus -28, což je -21. Tohle však nedává smysl. 0 se nikdy nemůže rovnat -21 a nezáleží, co dosadíte za 'x' 'y' 'z', 0 se nemůže rovnat -21. A to protože kdybychom si tyto rovnice z druhého páru představili jako plochy v 3D, nikdy se neprotnou. Když je zobrazíte v 3D, budou vypadat jako rovnoběžné roviny. A jelikož se tyto dvě spodní rovnice určitě neprotnou, můžeme říct, že celá soustava rovnic nemá žádné řešení. Je jedno, jestli první rovnice protne jednu nebo obě dvě další rovnice. Když víme, že tyto dvě se neprotnou, znamená to, že neexistuje žádný bod [x,y,z], bod v 3D prostoru, který by vyhovoval všem třem rovnicím. Protože neexistuje jediné 'x', 'y' a 'z', které vyhovuje těmto dvěma rovnicím, protože to jsou rovnoběžné roviny, které se neprotnou.
video