Soustavy rovnic III
Přihlásit se
Soustavy rovnic III (4/4) · 8:16

Soustava tří rovnic - slovní úloha V této slovní úloze máme vypočítat velikost úhlů v trojúhelníku. Způsob zadání nás zavede na soustavu tří rovnic.

Navazuje na Soustavy rovnic II.
Vyřešte následující slovní úlohu pomocí tří rovnic o třech neznámých. Víme, že druhý úhel trojúhelníka je o 50 stupňů menší než čtyřnásobek prvního úhlu. A třetí úhel je o 40 stupňů menší než ten první. Najděte hodnoty těchto tří úhlů. Pojďme si nakreslit trojúhelník. První úhel si pojmenujeme ,a', druhý ,b' a třetí ,c'. Než se vůbec podíváme na zadání, uvědomíme si, že součet všech tří úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Takže víme, že ,a' plus ,b' plus ,c' je 180. A teď se podívejme na další podmínky. Je tu napsané, že druhý úhel je o 50 stupňů menší než čtyřnásobek prvního. Takže ,b' je ten druhý úhel. Takže druhý úhel je o 50 stupňů menší než čtyřnásobek prvního. Takže 4 krát první úhel bude 4a, ale má to být ještě o 50 stupňů menší, takže minus 50. Další podmínka ze zadání: Třetí úhel je o 40 stupňů menší než ten první. …třetí úhel je o 40 stupňů menší než ten první. Tedy třetí úhel je o 40 stupňů menší než úhel ,a'. Takže máme 3 rovnice o 3 neznámých a naším úkolem bude je vyřešit. Podívejme se, které proměnné by bylo nejlepší se zbavit jako první. Zkusme si to představit trochu lépe. Všechna ,a' dám na levou stranu rovnic. Takže přepíšu první rovnici. A máme: a plus b plus c je rovno 180. A tato rovnice, když v ní odečteme 4a z každé strany, tak dostaneme -4a plus b se rovná -50. A potom tato rovnice, když z každé strany odečteme ,a', dostaneme, že -a plus c je rovno -40. Jen jsem odečetl ,a' z obou stran. A teď se chceme zbavovat proměnných. A v této třetí rovnici jsou jen proměnné ,a' a ,c', tato obsahuje jen ,a' a ,b' a tato první obsahuje ,a', ,b' i ,c'. Takže tato obsahuje jen ,a' a ,c'… Kdybychom tyhle první dvě rovnice… Kdybychom první dvě rovnice dokázali použít tak, že by nám zbyla jen rovnice s ,a' a ,c', tak bychom ji pak spojili s tou poslední a měli bychom 2 rovnice o 2 neznámých. Tak to pojďme udělat. Když nám má zbýt jen jedna rovnice s ,a' a ,c', tak se musíme zbavit těch ,b'. Takže můžeme jednu z rovnic vynásobit -1 a jedno z kladných ,b' se změní na záporné. Udělejme to. Vynásobíme první rovnici -1. A dostaneme, že -a minus b minus c je rovno -180. A pak máme tuto zelenou rovnici, která je vlastně touto, jen jinak uspořádaná. Takže máme -4a plus b je rovno -50. A teď můžeme tyto dvě rovnice sečíst. Udělám to jinou barvou, ať je vidět, odkud to máme. To je -4a plus b rovno -50. A teď je můžeme sečíst a dostaneme, že -a minus 4a je rovno -5a, vidíme, že,b' zmizelo, dále minus c, a to se rovná -180 minus 50, což je -230. Takže jsme použitím těchto dvou rovnic získali rovnici o neznámých ,a' a ,c'. A máme další rovnici s proměnnými ,a' a ,c' a vypadá to, že když je sečteme, tak se zbavíme ,c'. Takže si přepíšu tuto rovnici. A musíme být opatrní a použít všechny rovnice, jinak se zacyklíme. Takže opatrně, tato rovnice vzešla z těchto dvou. Teď ji chci kombinovat s touto třetí podmínkou, která zatím nebyla zahrnuta do této rovnice. Takže máme, že -a plus c je rovno -40. Tyto dvě rovnice sečteme: -5a minus a je rovno -6a, ,c' zmizelo. A pak máme -230 minus 40, což je -270, obě strany rovnice vydělíme -6. A dostaneme, že ,a' je rovno -270 děleno -6. 270 je dělitelné 2 i 3, takže by to mělo být dělitelné 6, takže to vydělím. Znaménka minus se samozřejmě vyruší, záporné děleno záporným je kladné. Když si vezmeme 6 do 270, 6 se do 27 vejde 4 krát. 4 krát 6 je 24. Odečteme to a máme 3, přidáme 0, 6 se do 30 vejde 5 krát, Takže ,a' je rovno 45. Teď pojďme dál. Tohle můžeme použít, abychom získali ,c'. ,c' je rovno ,a' minus 40 stupňů. Takže to je rovno, napíšu to žlutě… takže ,c' je rovno 45 minus 40, což je 5 stupňů. Takže už jsme spočítali ,a', což je 45 stupňů, a ,c', které je 5 stupňů. A teď můžeme nahradit proměnné v jedné z těchto rovnic pro nalezení ,b'. Můžeme použít tuto zelenou: b se rovná 4a minus 50. Takže ,b' bude rovno 4 krát 45… Takže, 2 krát 45 je 90, takže 4 krát 45 je 180, takže to bude 180 minus 50 z této rovnice, což je rovno 130 stupňům. Takže máme, že ,b' je rovno 130 stupňům. Zapíšeme si to sem. Takže ,a' se rovná 45. Kdybych chtěl ten trojúhelník nakreslit, tak by vypadal nějak takto: ,a' je úhel o 45 stupních, ,b' je úhel o 130 stupních a ,c' je 5. Takže to bude vypadat nějak takhle, kde tento úhel má 45 stupňů, ,b' je 135… Ups. A pak ,c' má 5 stupňů. A můžete si ověřit, že to platí. Můžete si doplnit hodnoty do úhlů. 45 plus 5 je 50. Promiňte, tohle není 135, ale 130. Tamhle jsme to vypočítali. A tento je 5. Takže když je všechny sečtete, 45 plus 130 plus 5, to se opravdu rovná 180. 45 plus 5 je 50, plus 130, takže to opravdu je 180. Takže to splňuje naši první podmínku. Podle druhé podmínky musí ,b' být rovno 4a minus 50. Takže 4a je 180. 180 minus 50 je 130 stupňů. Takže to splňuje naši druhou podmínku. A konečně třetí podmínka. ,c' je rovno ,a' minus 40 stupňů. No ,a' je 45, ,c' je 5 a když odečtu 40 od 45, tak mám 5, což je ,c', takže to splňuje všechny podmínky a jsme hotovi.
video