Základní operace s mnohočleny
Přihlásit se
Základní operace s mnohočleny (12/26) · 9:50

Násobení mnohočlenů V tomto videu si na několika příkladech procvičíme operaci opačnou k vytýkání, kterou je roznásobování závorek.

Navazuje na Pokročilé výrazy s proměnnými.
V tomto videu pouze vynásobím pár polynomů a doufám, že vám to pomůže cítit se sebejistěji, až budete muset nějaký vynásobit sami. Pojďme začít s poměrně snadným příkladem. Chceme vynásobit 2x krát (4x minus 5). My tady využíváme pouze distributivní zákon. Když řešíme násobení polynomů, tak jediné, co používáme, je distributivní zákon. Pojďme zde tedy využít jen distributivní zákon. Tohle je 2x krát 4x plus 2x krát (-5). Nebo můžeme říct (-5) krát 2x. Takže byste řekli (-5) krát 2x. Pouze jsem distribuoval 2x. První výraz bude roven… Můžeme vynásobit koeficienty. Pamatujte, 2x krát 4x je to samé jako… Můžete přehodit pořadí násobení. Je to stejné jako 2 krát 4 krát x krát x. Což je to samé jako 8 krát x na druhou. Pamatujte, x na prvou krát x na prvou, sečtěte exponenty. Myslím tím, že víte, že x krát x je x na druhou. Takže ten první výraz bude 8x na druhou. A ten druhý výraz (-5) krát 2 je (-10). Nebylo to tak zlé. Pojďme vyřešit jeden o něco komplikovanější příklad. Řekněme, že máme: 9x na třetí krát (3x na druhou minus 2x plus 7). Takže znovu, pouze zde využijeme distributivní zákon. Takže vynásobíme 9x na třetí každým z těchto výrazů. Takže 9x na třetí krát 3x na druhou. Tentokrát to rozepíšu. U dalších příkladů to začneme řešit částečně zpaměti. Takže tohle bude 9x na třetí krát 3x na druhou. A teď následuje plus, napíšu to takto, (-2x) krát 9x na třetí, a potom plus 7 krát 9x na třetí. Někdy jsem nejprve napsal 9x na třetí a někdy až později, protože jsem chtěl mít minus. Ale nezáleží na pořadí, ve kterém násobíte. Takže čemu bude roven tento první výraz? 9 krát 3 je 27 krát x na… Můžeme sečíst exponenty, což jsme se naučili u vlastností exponentů. To je x na pátou minus 2 krát 9 je 18 x na… Máme x na prvou, x na třetí, x na čtvrtou. Plus 7 krát 9 je 63x na třetí. Takže jsme skončili s tímto krásným polynomem pátého stupně. Teď pojďme vyřešit jeden, u kterého násobíme dva dvojčleny. Za chvíli vám ukážu, co tím myslím. S tímhle se v algebře budete setkávat velmi, velmi, velmi často. Takže řekněme, že máte (x minus 3) krát (x plus 2). Chci vám ukázat, že jediné, co zde využíváme, je distributivní zákon. Takže to napíšu takhle: krát (x plus 2). Pojďme si představit, že tohle je jedno velké číslo. A ono je. Víte, kdybyste měli ‚x‘, bylo by to nějaké číslo zde. Takže ho pouze pojďme distribuovat na každou z těchto proměnných. Takže to bude (x minus 3) krát zelené x plus (x minus 3) krát ta zelená dvojka. Akorát jsme distribuovali výraz (x plus 3). Je to pouze distributivita. Pamatujte, kdybych měl a krát (x plus 2), čemu by se to rovnalo? Bylo by to (a krát x) plus (a krát 2). Jak vidíte, (x minus 3) je pro nás to samé jako a, jenom to roznásobíme. A teď použijeme distributivní zákon znovu. V tomhle případě pouze roznásobujeme x s výrazem (x minus 3). Roznásobíme dvojku s (x minus 3). Možná jste zvyklí vidět x na druhé straně, ale každopádně jenom násobíme. Takže to bude… Zůstanu u barevného značení. Bude to (x krát x) minus (3 krát x) plus (x krát 2)… To barevné značení je pro mě utrpení. Myslím ale, že to pomáhá. Minus 3 krát 2. Akorát jsem roznásobil ‚x‘ a pak jsem roznásobil 2. A brzy si na to zvyknete. Můžeme to udělat v jednom kroku. Násobíte vlastně každý výraz v tomto každým výrazem v tomhle, a v budoucnu to vymyslíme rychleji. Ale chci vám ukázat tu myšlenku tady. Takže čemu se to bude rovnat? Tohle bude x na druhou. Tohle bude (-3x). Tohle bude plus 2x. A tohle bude (-6). A tohle tedy bude x na druhou minus 3 něco plus 2 něco, což je minus 1 něco. Minus x minus 6. Vynásobili jsme tyhle dva výrazy. Než se přesuneme na další příklad, chci vám ukázat, že něco z toho můžete řešit také z hlavy. Nebudete muset procházet všemi kroky. Jenom vám chci ukázat, že tohle je opravdu jenom distributivita. Rychlejší cesta, jak to udělat, kdybyste měli (x minus 3) krát (x plus 2): chcete jenom vynásobit každý výraz krát každý z těchto výrazů. Takže byste si řekli, tohle x krát tamto x, takže byste měli x na druhou. Pak byste měli tohle x krát 2, takže plus 2x. Pak byste měli tohle (-3) krát tamto x, tedy (-3x). A pak máte (-3) krát 2, což je (-6). A když to zjednodušíte, opět dostanete x na druhou minus x minus 6. Vyžaduje trochu procvičování, abyste si na to zvykli. Další věc, kterou chci vyřešit, a princip je opravdu úplně stejný, jen budu násobit dvojčlen krát trojčlen, což spoustu lidí vyděsí. Ale uvidíte, že když zůstanete v klidu, tak to není tak zlé. (3x plus 2) krát (9x na druhou minus 6x plus 4) Mohli byste to řešit úplně stejně, jak jsme to dělali v předchozím videu. Skutečně bychom mohli vzít ten výraz (3x plus 2), roznásobit ho s každým ze tří výrazů, vynásobit (3x plus 2) krát každý z výrazů, a pak roznásobit každý z těchto výrazů s (3x plus 2). Trvalo by to dlouho a normálně byste to tím způsobem nedělali. Ale dostanete stejný výsledek. Když máte delší polynomy, nejjednodušší způsob, jak o tom můžu přemýšlet, je něco jako násobení dlouhých čísel. Takže si to napíšeme takhle: 9x na druhou (-6)x plus 4. A budeme násobit tohle krát (3x plus 2). A představím si to asi takto: když násobíte normální čísla, tak máte jednotky, desítky, stovky. Tady budete mít konstanty, první stupeň, druhý stupeň, třetí stupeň, jestli tam nějaké bude. A v tomhle videu bude. Takže jenom musíte umístit věci na správné místo. Pojďme to udělat. Takže začnete tady, násobíte skoro stejně jako u klasického násobení. 2 krát 4 je 8. Patří to na jednotkové místo, nebo místo konstant. 2 krát (-6x) je (-12x). A tady bude plus. To bylo plus 8. 2 krát 9x na druhou je 18x na druhou, takže to jenom dáme na místo x na druhou. Teď pojďme udělat x na třetí. Udělám to fialově, abyste viděli, v čem je to jiné. 3x krát 4 je 12x, kladných 12x. 3x krát (-6x), kolik to je? x krát x je x na druhou, takže to bude tady. A 3 krát (-6) je (-18). A konečně 3x krát 9x na druhou, x krát x na druhou je x na třetí. 3 krát 9 je 27. Napsal jsem to na místo x na třetí. Pouze chceme sečíst stejné výrazy. Takže dostanete 8. Nejsou tam žádné jiné konstanty, tak je to jenom 8. (-12x) plus 12x, to se vyruší. 18x na druhou minus 18x na druhou se vyruší, zde nám zbývá akorát 27x na třetí. Takže je to 27x na třetí plus 8. A jsme hotovi. Tuto techniku můžete použít k vynásobení trojčlenu s dvojčlenem, trojčlenu s trojčlenem, dokonce byste zde mohli mít i pětičlenné výrazy. A pátý stupeň krát pátý stupeň. Bude to fungovat, dokud budete udržovat věci na jejich správném stupňovém místě.
video