Základní operace s mnohočleny
Přihlásit se
Základní operace s mnohočleny (9/26) · 10:09

Řešení kvadratické rovnice pomocí rozkladu na součin Spousta příkladů, na kterých si ukážeme, jak využít rozklad na součin při řešení různých kvadratických rovnic.

Navazuje na Pokročilé výrazy s proměnnými.
Vyřešme několik kvadratických rovnic rozložením na součin. Řekněme, že mám x na druhou plus 4x je rovno 21. Asi by vás hned napadlo zkusit vytknout x a nějak to položit rovno 21. A to by nevedlo k dobrému výsledku. Pravděpodobně byste se do toho zamotali. Co musíte udělat je, že dáte celý výraz na jednu stranu rovnice. Dáme jej na levou stranu. Odečtěme 21 od obou stran rovnice. Levá strana bude tedy x na druhou plus 4x minus 21. A pravá strana bude rovna nule. A tohle budete řešit… Tohle je kvadratická rovnice. Máme kvadratický výraz roven nule. Způsob, jak to řešit, je, že to rozložíte na součin a řeknete si, že každý z činitelů může být roven nule. Jak to rozložíme? Minule jsme viděli, že hledáme dvě čísla, jejichž součin je -21 a jejichž součet je roven 4. To bude a plus b musí být rovno 4. Protože součin je záporný, musí mít různá znaménka. A podívejme, napadají mě čísla 7 a 3. Pokud vezmu -7 a +3, součet je -4. Udělejme tedy +7 a -3. Takže 'a' a 'b' budou +7 a -3. Součin je -21. Součet je +4. Takže mohu přepsat rovnici. Mohu ji přepsat na (x plus 7) krát (x minus 3) je rovno 0. A teď to mohu vyřešit tím, že si řeknu: „Mám dvě věci. Jejich součin je 0. To znamená, že jedna nebo obě musí být 0.“ To znamená, že (x plus 7) je 0. To je 'x'. Nebo (x minus 3) je 0. Můžu odečíst 7 od obou stran rovnice. A dostanu, že 'x' je rovno -7. A tady bych mohl přičíst 3 k oběma stranám rovnice. A dostanu, že 'x' je rovno 3. Obě tato čísla jsou řešením rovnice. Můžete si to vyzkoušet. Když to bude 7… -7 na druhou je 49. -7 krát 4 je minus 28. A to se opravdu rovná 21. A nechám vás vyzkoušet si +3. Vlastně to udělejme. 3 na druhou je 9, 4 krát 3 je 12, 9 plus 12 je opravdu 21. Udělejme pár dalších příkladů. Řekněme, že mám x na druhou plus 49 je rovno 14x. Pokaždé, když uvidíte něco takového, dejte všechny členy na jednu stranu a 0 na druhou stranu rovnice. To je nejlepší způsob řešení kvadratických rovnic. Odečtěme 14x od obou stran. Napišme to jako x na druhou minus 14x plus 49 je rovno 0. 14x minus 14x je zřejmě 0. Tohle minus 14x je tato věc zde. Teď jen musíme najít čísla, která, když je vynásobíme, dají 49 a když je sečteme, dostaneme -14. Zaprvé musí mít stejné znaménko, protože tohle je kladné číslo. A musí být obě záporné, protože jejich součet je záporný. A tohle je zajímavé. 49 je druhá mocnina. Dělitelé jsou 1, 7 a 49. Možná bude 7 fungovat, nebo ještě lépe, -7 bude možná fungovat. A taky že bude! -7 krát -7 je 49. -7 plus -7 je -14. Máme zde vzor, kde máme 2 krát číslo a máme to číslo na druhou. To je dokonalý čtverec. Tohle je (x minus 7) krát (x minus 7) je rovno 0. To nezapomeňme. Nebo můžeme napsat (x minus 7) na druhou je rovno 0. Tohle byl dokonalý čtverec dvojčlenu. A pokud (x minus 7) na druhou je 0, vezmeme odmocninu obou stran. Dostaneme (x minus 7) je 0. Můžete říct, že (x minus 7) je 0 nebo (x minus 7) je 0, ale to by bylo zbytečné. Takže máme jen (x minus 7) je 0. Pričteme 7 k oběma stranám a dostaneme x je rovno 7. Tady jen jedno řešení. Udělejme další růžově. Řekněme, že máme x na druhou minus 64 je rovno 0. To vypadá zajímavě. Možná vás napadá, jak to vyřešit. Nemá to žádný člen s 'x', ale můžeme si představit, že má. Můžeme to přepsat jako x na druhou plus 0x minus 64. V této situaci si můžeme říct: „Která čísla, když je vynásobím, jsou rovna 64 a když je sečtu, jsou 0?“ A když hledám součin, bude záporný, že? To je a krát b. Záporné číslo. Takže musí mít opačná znaménka. A když je sečtu, dostanu 0. To znamená, že 'a' plus '-b' je 0, že 'a' je rovno 'b', že pracujeme se stejným číslem. Vlastně pracujeme se stejnými čísly, které jsou si záporem. Co to může být? Pokud pracujeme se stejnými čísly a jsou si navzájem záporné, 64 je přesně 8 na druhou. Ale je to -64, takže možná pracujeme s jednou -8 a jednou +8. A když je sečteme, opravdu dostaneme 0. Takže to bude (x minus 8) krát (x plus 8). Nemusíte vždy projít celým procesem jako já. Můžete si vzpomenout, že pokud máte (a plus b) krát (a minus b), je to rovno a na druhou minus b na druhou. Pokud uvidíte něco, co vypadá jako a na druhou minus b na druhou, můžete okamžitě říct, že to bude rovno a plus b… 'a' je 'x', 'b' je 8… krát a minus b. Udělejme pár dalších obecných příkladů. Nebudu vám říkat, jaký typ to bude. Změním barvu. Začíná to být monotónní. Řekněme, že máme x na druhou minus 24x plus 144 je 0. No, 144 je od pohledu 12 na druhou. A tohle je od pohledu 2 krát -12. Nebo spíš tohle je -12 na druhou. Tohle je -12 krát -12. Tohle je -12 plus -12. Tento výraz může být přepsán jako (x minus 12) krát (x minus 12) nebo jako (x minus 12) na druhou. To položíme rovno 0. Tohle bude 0, když (x minus 12) je rovno 0. Můžete říct, že obojí může být rovno 0, ale jsou ty samé výrazy. Přičtěme 12 k oběma stranám, dostaneme, že x je rovno 12. A právě jsem si uvědomil, v tomto příkladu nahoře, rozložil jsem to na součin, ale vlastně nevyřešil rovnici. To musí být rovno 0. Udělejme krok zpět k této rovnici. A jediná možnost, aby tohle bylo rovno 0, je, že buď (x minus 8) je rovno 0 nebo (x plus 8) je rovno 0. Přičtěme 8 k oběma stranám. Dostaneme, že 'x' může být rovno 8. Odečtěme 8 od obou stran. Dostaneme, že 'x' může být také rovno -8. Udělejme ještě jeden. Abyste si to zaryli do paměti. Udělejme ještě jeden. Řekněme, že mám 4x na druhou minus 25 je rovno 0. Možná v tom už vidíte ten vzor. Tohle je 'a' na druhou. Tohle je 'b' na druhou. Máme vzorec a na druhou minus b na druhou, kde v tomto případě 'a' bude '2x', že? Tohle je (2x) na druhou. A 'b' bude rovno 5. Takže pokud máme a na druhou minus b na druhou, bude to rovno (a plus b) krát (a minus b). V této situaci to znamená, že 4x na druhou minus 25 bude (2x plus 5) krát (2x minus 5). A to bude samozřejme rovno 0. A to bude 0 jedině pokud buď (2x plus 5) bude rovno 0, nebo (2x minus 5) bude rovno 0. A můžeme obě rovnice vyřešit. Odečteme 5 od obou stran. Máme 2x je rovno -5. Vydělíme obě strany 2. Dostaneme jedno řešení -(5 lomeno 2). Tady přičteme 5 k oběma stranám. Máme 2x je rovno +5. Vydělíme obě strany 2. Dostaneme, že 'x' může být +(5 lomeno 2). Obě čísla splňují tuto rovnici.
video