Základní operace s mnohočleny
Přihlásit se
Základní operace s mnohočleny (16/26) · 10:36

Příklady na roznásobování a umocňování mnohočlenů Na mnohých příkladech budeme procvičovat vzorečky na umocňování mnohočlenů, které jsou vysvětleny v předchozích videích.

Navazuje na Pokročilé výrazy s proměnnými.
V tomto videu bych rád probral dva typy příkladů týkající se násobení mnohočlenů, se kterými se v algebře běžně potkáte. Prvním z nich je umocnění dvojčlenu. Máme zadáno (x plus 9) na 2. Je mi jasné, že vás láká umocnit x zvlášť a 9 zvlášť a sečíst. Takto to ale nefunguje. Pokud máte nutkání to udělat, musíte ho potlačit. Není to (x na 2) krát (9 na 2). Zapamatujte si, že (x plus 9) na 2 je rovno (x plus 9) krát (x plus 9) . Je to rovno vynásobení dvojčlenu sebou samým. To musíte mít na paměti. Je hodně lákavé napsat, že je to jen (x na 2) plus (9 na 2). Ale není to tak, je třeba to rozepsat. Když jsme to rozepsali, tak použijeme dovednosti nabyté v minulém videu na násobení závorek. Ukážu vám, že to můžeme udělat úplně stejně jako minule ten mnohočlen. Vynásobme (x plus 9) krát (x plus fialová 9). Chci tím jen rozlišit, co vznikne z násobení této fialové 9 a tohoto x. Jdeme na to. 9 krát 9 je 81, což dám na místo konstanty. 9 krát x je 9x. Teď budu násobit tímto žlutým x, x krát 9 je 9x, dám to sem. A nakonec x krát x je x na 2. Teď už to jen všechno sečteme. Dostáváme x na 2 plus 18 krát x plus 81. Toto je tedy rovno x na 2 plus 18 krát x plus 81. Možná, že už v tom vidíte určitý vzorec, já ho tu za chvilku napíšu. Co se tedy stane, když umocním dvojčlen? Dostanete x na 2, neboli toto x krát toto x, zároveň tam je i 9 krát 9, což se rovná 81, ale je tam také ten prostřední člen, 18 krát x. Kde se vlastně vzal? Vynásobili jsme toto x s touto 9, tím jsme získali 9x, a pak jsme spolu vynásobili i toto x s touto 9, což nám dalo další 9x. Ty jsme potom sečetli a získali tím 18x. Kdykoli budete umocňovat dvojčlen… Napíšu to co nejvíce obecně. Řekněme, že máme (a plus b) na 2. Znovu si to roznásobíme. Je to rovno (a plus b) krát (a plus b) v jiných barvách. Máme tu b krát b, což je b na 2. Předpokládejme, že toto je konstantní člen. Napíšu sem b na 2 a předpokládám, že je to konstanta. Bude to nějaké číslo, stejně jako jsme měli 81 před chvílí. Písmenkem ‚a‘ označuji proměnnou. Ještě to napíšu jinak. Napišme si místo toho (x plus b) na 2. Přičemž b je konstanta. Bude to žluté (x plus b) krát (fialové x plus zelené b). Písmenko b představuje nějaké číslo a b krát b je b na 2. Dále b krát x je prostě bx. Teď vynásobím fialové x krát b, což je také bx. A nakonec x krát x je x na 2. Když to teď sečteme vyjde nám (x na 2) plus (2 krát bx) plus (b na 2). Tady můžete vidět, že výsledek umocnění (x plus b) na 2 je: (x na 2) plus (2 krát x krát b) plus (b na 2). Pojďme tento vzoreček vyzkoušet na příkladech. Udělám to tímto rychlejším způsobem. Máme (3x minus 7) na 2. Nezapomeňte, co jsem vám řekl. Je opravdu důležité, abyste na to stále mysleli. Můžu to zase roznásobit, ale udělám to podle vzorce, výsledek je stejný. Bude se to rovnat (3x) na 2 plus 2 krát 3x krát -7… Už víme, že se to počítá jako dvojnásobek součinu obou čísel plus (-7) na 2. Umocníme první člen a získáme 9 krát (x na 2). Dále tu máme 2 krát 3, což je 6, krát (-7), což je -42, krát x. A nakonec (-7) na 2 je 49. Takto to lze vyřešit rychle. Jen pro kontrolu to pojďme zkusit vyřešit pomalu, roznásobením. (3x minus 7) krát (3x minus 7). -7 krát -7 je 49. -7 krát 3x je -21x. A 3x krát (-7) je -21x. A poslední, 3x krát 3x je 9 krát x na 2. Trochu si to posunu a sečtu oba řádky. Tím získám 9 krát (x na 2) minus 42x plus 49. Došli jsme tedy k úplně stejnému výsledku. Pojďme zkusit ještě jeden příklad. Třeba (8x minus 3)… Anebo zkusíme příklad s více proměnnými. (4 krát (x na 2) plus (y na 2)) to celé na 2. Udělejme to úplně stejně. Bude se to rovnat první člen na 2, tedy (4 krát (x na 2)) na 2 plus 2 krát součin obou členů. Plus 2 krát (4 krát (x na 2)) krát (y na 2) plus (y na 2) na 2. Ještě to upravíme. Bude se to rovnat 4 na 2, 16, krát (x na 2) na 2. 2 krát 2 jsou 4, proto tam bude x na 4. Dále 2 krát 4 je 8 krát x na 2 krát y na 2. Na konci je (y na 2) na 2, tedy y na 4. Probrali jsme se tím umocňování dvojčlenů. Teď bych vám rád ukázal vzorec na součin rozdílu a součtu. Tento vzorec je velmi užitečný. Proto ho nejdřív zase rozebereme obecně. Napišme si (a plus b) krát (a minus b), čemu se to bude rovnat? Bude to rovno a krát a… Druhý výraz ještě napíšu v jiných barvách. Násobím (zelené a) krát (fialové a) plus, respektive minus (zelené a) krát b. To minus se vzalo přesně odtud. Dále násobím (zelené b) krát (fialové a), stále jen roznásobuji závorku. A poslední je (minus zelené b) krát (fialové b), minus je od fialového b. Čemu se to bude rovnat? Bude to (a na 2) minus ab plus ab minus (b na 2). Prostřední dva členy, -ab a ab, se odečtou. Zbyde nám tak jen (a na 2) minus (b na 2). Což je pěkný výsledek, kterým se to celé zjednodušilo. Pojďme si to vyzkoušet na nějakém příkladu. Mějme (2x minus 1) krát (2x plus 1). V obou závorkách je to samé. Na (2x plus 1) se můžeme koukat jako na (a plus b). Stejně tak se na (2x minus 1) můžeme koukat jako na (a minus b). Kde 2x odpovídají ‚a‘ a 1 odpovídá ‚b‘. Pojďme využít vzorce, co jsme před chvílí odvodili. Čemu se to bude rovnat? Bude to (a na 2), tedy v našem případě (2x) na 2, minus (b na 2), což je u nás 1 na 2. (2x) na 2 je 4(x na 2) a 1 na 2 je 1. Výsledkem je 4(x na 2) minus 1. Zkusme si ještě jeden příklad, aby to bylo úplně jasné. Soustředím se teď hlavně na násobení. Máme tu (5a minus 2b) krát (5a plus 2b). Zapamatujte si, že tento vzoreček platí jen tehdy, když mám součin dvou stejných výrazů lišících se jen o znaménko. Jindy to nebude fungovat, to už jsme si ukázali. Pokud si nebudete jistí vzorečkem, můžete to roznásobit, potrvá to jen trochu déle. Uvidíte, jak se členy odečtou. Nemůžete to však použít pro libovolné násobení dvojčlenů. To jsme vlastně už viděli na začátku videa, když jsme počítali mocniny. Když použijeme vzorec, bude to ((5a) na 2) minus ((2b) na 2). To je rovno (25 krát (a na 2)) minus (4 krát (b na 2)). Tady to ukončím a budu se těšit příště.
video