Binomická věta
Přihlásit se
Binomická věta (2/6) · 8:20

Pascalův trojúhelník a binomická věta Nejdříve si ukážeme, co je to Pascalův trojúhelník a pak jej spolu zkonstruujeme. Poté osvětlíme, jak je spojen s binomickou větou a proč tomu tak je.

Navazuje na Kořeny mnohočlenů.
V posledním videu jsme si s pomocí binomické věty zjistili, kolik je (a plus b), to celé na čtvrtou, abychom výraz rozšířili. Bylo to sice zdlouhavé, ale dokázali jsme to a snad jste to ocenili. Lepší bude, když to budeme umět s větší mocninou: (a plus b) na sedmou, (a plus b) na osmou. V tomto videu chci však ukázat, že je jiný způsob, jak nad tím přemýšlet, a to s pomocí "Pascalova trojúhelníku". A pokud nám zbyde čas, řekneme si, jak spolu tyto myšlenky souvisí. Takže místo (a plus b) na čtvrtou řešeno binomickou větou, kterou máme popsanou zde, to vyřeším s pomocí Pascalova trojúhelníku a vlastností, které známe z binomické věty. Takže zde napíšu, co se snažíme vypočítat. Chceme vypočítat (a plus b), to celé na čtvrtou. Toto jen udělám odlišnou barvou… …na čtvrtou. Takže já zde teď načrtnu Pascalův trojúhelník. Začneme s 1 nahoře. Představte si to tak, že když začnete na vrcholu trojúhelníku a jdete dolů, počítáte počet možností, jak se dostat k jiným bodům. Načrtnu zde trojúhelník. Takže když začnu zde, je jen jeden způsob, jak se dostat sem a jeden způsob, jak se dostat sem. Ale na třetí úrovni… Když se podívám, kolika způsoby se dostanu sem… No, jeden způsob, jak se dostat odtud a jak se dostat odtud. Takže to jsou dva způsoby. Můžu se tam dostat touto cestou nebo touto cestou. K těmto krajním bodům se dostanu jenom jednou cestou. K prostřednímu bodu se můžu dostat dvěma způsoby. Když se podíváme na čtvrtou úroveň… Je jenom jedna kombinace sem, ale tři kombinace k tomuto bodu. Jedna plus dva. Jaké jsou ty tři cesty? Můžeme jít tudy, můžeme jít tudy nebo můžeme jít tudy. Ze stejných důvodů jsou tři cesty k tomuto bodu. A pak je jenom jedna cesta ke krajnímu bodu. Přidáme pátou úroveň, protože o tu se zajímáme, když řešíme dvojčlen na čtvrtou mocninu. Toto je v podstatě nultá mocnina, první mocnina, druhá mocnina, třetí mocnina. Takže pojďme na čtvrtou mocninu. Kolika způsoby se sem můžu dostat? No, pokud se držíme levé strany, až sem je jenom jedna cesta. Jsou čtyři cesty, které vedou sem. Můžu jít tudy, můžu jít tudy, můžu jít tudy nebo můžu jít tudy. Je šest způsobů, jak se dostat sem. Tři cesty, které vedou sem, tři, které vedou sem. Takže šest cest, které vedou sem, můžete je spočítat, pokud na to máte čas. Tady je tři plus jedna, tedy čtyři cesty sem. A potom jedna cesta sem. Teď já tvrdím, že toto jsou ty koeficienty, pokud něco mocním na nultou. Toto, pokud mocním dvojčlen na prvou, zde na druhou mocninu. Očividně dvojčlen na prvou bude mít koeficienty jedna a jedna. Když to však umocníme na druhou, bude to (a na druhou plus 2ab plus b na druhou). Když vezmeme třetí mocninu, toto budou koeficienty třetí mocniny. Toto budou koeficienty čtvrté mocniny. Pojďme si je vypsat. Tvrdím, že koeficienty budou jedna, čtyři, šest, čtyři a jedna. A jak určím mocniny ,a' a ,b'? Začnu s ,a', začnu s prvním členem, tam je největší mocnina, na čtvrtou. Potom jdu dolů. a na čtvrtou, a na třetí, a na druhou, a na první. Mohl bych i napsat a na nultou, což je jedna. Pro druhý člen začnu s nejmenší mocninou, s nultou mocninou. A potom b na první, b na druhou, b na třetí a potom b na čtvrtou, potom jen sečtu všechny členy dohromady. Tak tady to máme. Právě jsem rozložil (a plus b) na čtvrtou. Je to přesně to, co jsem zde napsal. Tento člen, ,a' na čtvrtou, to je tento člen zde. (a na čtvrtou)(b na nultou), to je prostě ,a' na čtvrtou. Tento člen zde se rovná tomuto členu zde. Asi vidíte, že jsem tu dostal stejný výsledek. Otázka je, proč toto funguje? Doporučuji vám zastavit video a popřemýšlet o tom. Abychom si uvědomili, proč to funguje, musíme se podívat na první úrovně zde. Pokud bych vzal (a plus b) na druhou… (a plus b) na druhou. Toto bude… už jsme to jednou viděli, toto bude (a plus b) krát (a plus b), takže zde napíšu: (a plus b) krát (a plus b). Takže máme a, a. Máme b, b. Tyto sečteme dohromady a když to vynásobíme, dostaneme… Toto se bude rovnat (a krát a). Dostaneme (a na druhou). A to je jediný způsob, jak dostat člen (a na druhou). Je jenom jeden způsob, jak dostat člen (a na druhou). Pak budeme mít plus (a krát b). Takže a krát b. Potom máme plus (b krát a), takže vlastně další (a krát b). Plus (b krát b), což je b na druhou. Tak toto je zajímavé. Kolika způsoby můžu dostat člen (a na druhou)? No, je jenom jeden způsob. Násobíme a krát a. Je jenom jeden způsob, jak se tam dostat. Kolika způsoby můžeme dostat člen (b na druhou)? Kolika způsoby můžeme dostat člen (b na druhou)? Je jenom jeden způsob, násobíme b krát b. Je jenom jeden způsob, jak to udělat. Ale kolika způsoby můžeme dostat člen ab? (a na prvou)(b na prvou) člen. Jsou dvě cesty, jak dostat tento člen. Vynásobíme toto (a krát b) nebo toto (b krát a). Jen pro ujasnění, jsou dva způsoby, jak dostat člen ab. Takže když vezmeme jejich součet, dostaneme (a na druhou) plus 2ab plus (b na druhou). Jsou tu stejné koeficienty. jedna, dva, jedna; jedna, dva, jedna. Proč je to tak? No, je jenom jeden způsob, jak dostat (a na druhou), dva, jak dostat ,ab' a jeden, jak dostat (b na druhou). Pokud bychom vzali třetí mocninu, řekli bychom, že je jeden způsob, jak dostat člen (a na třetí). Násobíme všechny tři ,a' se sebou. Je jenom jeden způsob, jak dostat člen (b na třetí). Jsou ale tři způsoby, jak dostat člen (a na druhou)b. Můžeme to vynásobit, a to jsme udělali. Udělali jsme to tady. Jsou tři způsoby, jak dostat (a na druhou)b. To jsme udělali tady. A jsou tři způsoby, jak dostat a(b na druhou). Tři způsoby, jak dostat a(b na druhou). Když to sečteme, dostaneme rozšířený tvar (a plus b) na třetí. Doufám, že to pro vás bylo zajímavé.
video