Kvadratická funkce a základní věta algebry Pojďme si ukázat pravdivost základní věty algebry na kvadratické funkci. Pomocí diskriminantu získáme dva imaginární kořeny. Ukážeme si také, co z toho vyplývá pro graf.

Řekněme, že máme funkci f(x), která je definovaná polynomem druhého stupně, 5(x na druhou) plus 6x plus 5. Základní věta algebry nám říká, že protože je to polynom druhého stupně, bude mít přesně dva kořeny. Jiný způsob, jak se na to dívat, je, že existují přesně dvě hodnoty pro x takové, že f(x) se rovná 0. Takže vám doporučuji zastavit video a pokusit se najít ty dvě hodnoty. Takže hledáme hodnoty x, pro které je tento výraz roven 0. To je v podstatě pokus vyřešit tuto rovnost. 5(x na druhou) plus 6x plus 5 je rovno 0. A nevidím tu žádný očividný způsob, jak tento výraz rozložit, takže se uchýlím k použití vzorce pro kvadratickou rovnici. Ten vzorec nám říká, že x, kde x je řešením této rovnice, bude rovno -b… Zkusím to barevně. …-b, které je přímo tady. -b, tedy -6, plus nebo minus… …plus nebo minus druhá odmocnina z ((b na druhou) minus 4ac). A to všechno, tohle všechno děleno 2a. To všechno děleno 2a. Takže na co se to zjednoduší? Tohle bude rovno… To bude rovno -6… Pokusím se to udržovat barevně. -6 plus nebo minus ta odmocnina. A tohle bude rovno čemu? Tohle je 36 minus 100. Takže to je -64. A to celé děleno (2 krát 5). To celé děleno 10. A tohle je zajímavé. Pokoušíme se udělat odmocninu ze záporného čísla. Jiný způsob nahlédnutí je: (b na druhou) minus 4ac je menší než 0. (b na druhou) minus 4ac je často označováno jako diskriminant. Tohle je menší než 0. …takže tohle je menší než 0. V této části vzorce bychom se pokusili odmocnit záporné číslo. Tohle bude záporné číslo. Takže pak dostaneme imaginární číslo. Takže nám to nedává dva reálné kořeny, ale dva nereálné komplexní kořeny. Takže to bude rovno -6 plus nebo minus 8i, odmocnina z -64 je 8i. Když rozšíříme funkci odmocniny na imaginární nebo komplexní čísla. A to všechno děleno 10. Nebo můžeme říct, že x je rovno, pokusme se najít největšího společného dělitele. Pokud se pokusíme pokrátit toto, budeme mít, podívejme, všechny jsou dělitelné 2, takže je to -3 děleno 5, což je to samé jako -6 děleno 10, plus nebo minus (4 děleno 5)i. Nebo můžeme říct, že ty dva kořeny, které jsou nereálné komplexní kořeny, jsou pro x rovno -3/5 plus (4/5)i, to je jeden z kořenů. A ten další kořen je -3/5 minus (4/5)i. Všimněte si, že to souhlasí se základní větou algebry. Máme 2 kořeny, nejsou reálné, ale základní věta algebry říká: "Hele, podívej, když máme polynom n-tého stupně, tak bude mít n komplexních kořenů." Mohou být reálné nebo nereálné, a to vidíme i tady. A také vidíme, že jsou komplexně sdružené. A ten vzorec tak nějak hned ukazuje, jak na tom jsme, obzvlášť když je tohle menší než 0. Takže když z toho bereme odmocninu, tak dostaneme imaginární čísla a hned víme, kde se ta komplexně sdružená čísla berou. A teď ověřme graficky, že to je opravdu ten případ. Že to nemá žádné reálné kořeny. Vezměme si kalkulačku. Přejdu do režimu grafu. Takže y je… Vymažu to, co jsem tu dělal předtím. Takže y1 je rovno 5(x na druhou) plus 6x plus 5. A nastavím tu nějaký rozumný interval. Takže nevím. Ve skutečnosti vím o této funkci velmi málo. Takže nastavím rozsah pro x od -10 do 10. Maximum pro y bude, podívejme… Tahle věc začne růst hodně rychle. Takže řekněme, že maximum pro y je… Já nevím, řekněme 100. 100, a měřítko dám po 10. Každá z těchto čárek bude 10. y minimum… Chceme vidět osu x, aby bylo vidět, že ji graf neprotíná, takže to dáme záporné, například -20. A teď se nám udělá graf. Doufám, že jsem to těmi mezemi správně zachytil. Takže tady to máte, je vidět, že to neprotíná osu x. A vlastně bychom si to mohli přiblížit. No, je to trochu těžké… Změním trochu rozsah. Jen změním ten rozsah. Takže minimum x nastavíme na -5 a maximum x nastavíme… Ups! Ne na 50, ale 5. Dáme to od -5 do 5. A teď maximum pro y. Dejme tomu maximum pro y rovno 20 a měřítko dám po 2. Dobře, tohle nám to hezky přiblíží. Tady vidíme, že to opravdu neprotíná osu x. Nemá to žádné reálné kořeny, ale má to dva nereálné komplexní kořeny.