Počet možných reálných kořenů mnohočlenu Co kdybychom měli zadaný mnohočlen sedmého řádu? Jaké jsou možnosti kombinací reálných a komplexních, nereálných kořenů?

Takže máme polynomiální funkci p(x), která je definovaná tímto polynomem očividně sedmého stupně. A já se chci zamyslet nad… …nad tím, kolik tak může mít tento polynom reálných kořenů. Takže jaká jsou možná množství reálných kořenů? Mohlo by to mít například 9 kořenů? Doporučuji vám zastavit video a promyslet, jaké jsou možné počty reálných kořenů. Tak začneme. Základní věta algebry nám říká, že budeme určitě mít 7 kořenů, z nichž některé mohou být i reálné. Takže určitě nebudeme mít 9 nebo 10 reálných kořenů a nejvíce můžeme mít 7 reálných kořenů. Takže možný počet reálných kořenů… Možný počet… Napíšu to sem. Možný počet reálných kořenů. No sedm je určitě možnost. Když uděláte graf, mohlo by to teoreticky protnout osu x sedmkrát. A teď, je možné, aby to mělo 6 reálných kořenů? Je 6 reálných kořenů možnost? Zamysleme se nad tím, co by nám to řeklo o komplexních číslech. Pokud je tu 6 reálných… Vlastně, udělejme to radši tímhle způsobem. Udělejme to… Napíšu to takhle. Takže reálné kořeny… Reálné. A pak nereálné, komplexní. Důvod, proč neříkám jen "komplexní", je ten, že reálná čísla jsou taky komplexní, takže to musím upřesnit. Takže bychom mohli mít 7 reálných kořenů a pak bychom neměli žádné nereálné kořeny, toto je naprosto možné. A mohli bychom mít 6 reálných kořenů, což by znamenalo 1 nereálný kořen? Ne, to se nemůže stát, protože nereálné komplexní kořeny se vyskytují ve dvojicích, v komplexně sdružených dvojicích, takže jich bude vždy sudý počet. Nemůžete mít jen jeden. Takže tohle škrtneme. A co 5 reálných kořenů? To by znamenalo, že máme 2 nereálné komplexní kořeny, když to doplníme do 7. A to je samozřejmě možné. Protože teď tu máme pár. Takže myslím, že už v tom je vidět vzorec. Můžeme mít lichý počet reálných kořenů až do, a to včetně, 7. Takže například toto je možné, ale můžu pokračovat i dál. Co 4 a 3? To není možné, protože tady mám liché číslo, musíme mít sudý počet nereálných komplexních kořenů. Takže to taky vyškrtnu. Ale když napíšu 3 a 4, tak to je naprosto možné. Máme tu dva páry nereálných komplexních kořenů. Pak můžeme zkusit 2 a 5, a znovu, toto je liché číslo, takže to není možné. A potom je tu 1 reálný a 6 nereálných kořenů, to je dost dobře možné, protože je to sudé číslo. A nakonec můžeme zvážit 0 reálných a 7 nereálných kořenů, což není možné, protože tady musí být sudé číslo, aby to byly páry. Takže možné počty reálných kořenů jsou 7, 5, 3 a 1 pro tento polynom sedmého stupně.