Exponenciální funkce
Přihlásit se
Exponenciální funkce (4/10) · 7:20

Určení koeficientu a základu mocniny u exponenciální funkce V podstatě opačný případ než u předchozího videa. Nyní máme zadanou tabulku funkčních hodnot a máme za úkol najít předpis exponenciální funkce.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Vezměme si exponenciální funkci h v bodě n, a protože to je exponenciální funkce, její přepis bude ve tvaru 'a' krát 'r' na 'n', kde 'a' je koeficient, a 'r' je základ mocniny. Předpokládáme, že 'r' je větší než 0. Máme nějaké informace o hodnotě funkce 'h' v bodě 'n'. Víme, že když se 'n' rovná 2, pak funkční hodnota v bodě 2 je 144, funkční hodnota v bodě 4 je 144, a funkční hodnota v bodě 6 je 729. Pojďme si na základě toho ověřit, jestli dokážeme přijít na to, kolik nám pro 'r' a 'a' vyjde. A jako vždy, stopněte si video, a sami si to vyzkoušejte. Dobrá, pojďme na to. Nejdřív se pustím do 'r', čili do základu mocniny, a zda máme po sobě jdoucí exponenty. Pokud bychom měli hodnotu v bodě 3, našli bychom koeficient v poměru naší hodnoty v bodě 3 s hodnotou v bodě 2, a z toho bychom pak dostali 'r'. Nebo koeficient mezi funkčními body 4 a 3 bychom mohli vyřešit explicitně pro 'r', a k tomu se můžeme hodně přiblížit. Můžeme prostě najít koeficient mezi funkčními body 2 a 4. Takže, funkční hodnota v bodě 4, koeficient mezi tímto a funkční hodnotou v bodě 2 se bude rovnat... Tedy, víme, že funkční hodnota v bodě 4 je 324, a v bodě 2 to je 144. Tohle celé můžeme trochu zjednodušit. Pokud tak uděláme, tak uvidíme, že obojí můžeme dělit 2. Pokud tak i uděláme, tak tady v čitateli 324 děleno 2 je 162, 144 děleno 2 je 72. Schválně, jestli můžeme znovu dělit 2, a máme 81 lomeno 36. Děleno 2... vlastně ne, tady už 2 dělit nemůžeme, ale můžeme dělit 9. Takže, 81 děleno 9 je 9 a 36 děleno 9 jsou 4. Takže tohle můžeme přepsat na 9 lomeno 4. Taky můžeme přepsat tento poměr, pokud použijeme tento tvar exponenciální funkce. Takže vlastně můžeme říct, že tohle... že funkční hodnota v bodě 4 je rovna 'a' krát 'r'. Vidíme, že 'n' jsou 4, takže 'r' na čtvrtou. A funkční hodnota v bodě 2 bude 'a' krát 'r' na druhou. Vše se nám krásně zjednodušuje. 'a' děleno 'a' se nám vykrátí na 1. 'r' na čtvrtou děleno 'r' na druhou, to je 'r' na (4 minus 2) Nebo také 'r' na druhou. Máme tu vytvořenou krásnou rovnici. 'r' na druhou se musí rovnat 9 děleno 4. Znovu si to napíšu. 'r' na druhou se rovná 9 lomeno 4. A 'r' musí být větší než 0. Takže můžeme říct, že 'r' bude odmocnina z 9/4. Což je vlastně 3/2. Takže jsme byli schopni vypočítat 'r'. Takže jak teď přijdeme na to, jak vypočítat 'a'? Máme několik možností. Můžeme se zamyslet, kolik bude 'a' ve funkční hodnotě 0. Kolik to vyjde? Jak na to? Můžeme to nazvat tabulkovou metodou,kde... Tak, jen chvilku. Udělám si tu tabulku. Takže, tabulka. Tady máme 'n' a funkční hodnotu v bodě 'n'. Pro 'n' rovná se 0 ještě nevíme funkční hodnotu. Tu dopočítáme. Nevíme ani funkční hodnotu v bodě 1. Ale víme, že v bodě 2 to je 144. A vzhledem k tomu, že víme, že koeficient je 3/2, tak pokud vezmeme hodnotu v bodě 1 a vynásobíme 3/2, dostaneme funkční hodnotu v bodě 2. A pokud vezmeme hodnotu v bodě 0 a vynásobíme 3/2, dostaneme hodnotu ve funkčním bodě 1. Takže, hodnota v bodě 1 bude 144 děleno 3/2. Raději si to napíšeme. Funkční hodnota v bodě 1 se rovná 144 děleno 3/2. Což bude 144 krát 2 děleno 3. Což je, 144 děleno 3 se rovná... Radši to napíšu, můj mozek tak dobře nefunguje, když k tomu dělám video. 3 se do 14 vejde 4krát. 4 krát 3 je 12. To odečteme, Už to vidím, vyjde to 48. 3 se do 24 vejde osmkrát. 8 krát 3 je 24. Nemáme žádný zbytek. Vyjde nám 48 krát 2, což se rovná 96. Tady tedy máme 96, a když chceme vypočítat hodnotu v bodě 0, tak to prostě znovu vydělíme 3/2. Funkční hodnota v bodě 0 je 96 děleno 3/2. Což je rovno 96 krát 2 děleno 3. 96 děleno 3 To vyjde 32. Takže tady máme 32 krát... Mám to správně? Ano, 32 krát 2. Což se rovná 64. A takhle jednoduše jsme přišli na to, že 'a' se rovná 64. A 'r'? 'r'' se rovná 3/2. Můžeme tedy napsat, že fukce h v bodě n se rovná 64... krát 3/2 což je náš koeficient. na 'n'. Je i další způsob, kromě tabulky, jak jsme toto mohli vyřešit. Můžeme nyní začít 'a', když známe 'r'. Například víme, že v bodě 2... Což se rovná 'a' krát... Víme, kolik je náš koeficient, čili 'a' krát 3/2 na druhou se rovná 144. Takže můžeme napsat, že 'a' krát 9/4 se rovná 144. Obě strany násobíme převrácenou hodnotou 9/4. Obrátíme 9/4. Čili obě strany násobíme 4/9. Tohle se vykrátí. Tohle se vykrátí, a zbude nám... 'a' rovná se 144 děleno 9 ...16? 144 děleno 9 bude zřejmě 16? Je to správně? Myslím, že ano. Ano, a pak 16 krát 4. Tady nám zbude 16 krát 1. 16 krát 4 je 64. Což je totéž, co nám vyšlo předtím. A když se na to dívám, tak tato metoda je vlastně o trochu jednodušší. Byť vyjdou stejně. Lepší je podle mě tato, víc pracujete s koeficientem a vidíte, že základ mocniny, je opravdu základ mocniny. Tady v bodě 0. Ale tak jako tak, jakmile spočtete 'r' a víte jednu z hodnot ve funkčním bodě funkce, můžete dopočítat 'a'. A pokud znáte 'a' a znáte hodnotu v 'n', můžete podobně dořešit 'r'. Nicméně doufám, že se vám to líbilo. :)
video