Exponenciální funkce
Přihlásit se
Exponenciální funkce (8/10) · 7:22

Přiřazování předpisů funkcí k jejich grafům Cvičení, ve kterém si vyzkoušíme, jak dobře rozumíme předpisům exponenciálních funkcí. Máme tu 4 grafy a 4 předpisy a naším úkolem je je správně propojit.

Navazuje na Racionální mocniny II.
Máme tu čtyři grafy a čtyři předpisy funkcí. Pozastavte si video a zamyslete se nad tím, který z grafů patří ke kterému předpisu funkce. Předpokládám, že jste to zkusili. Pojďme si je projít a zamysleme se, jak by vypadaly jejich grafy. Co rád dělám, protože je to jednoduché, přemýšlím co se stane, když je 'x' rovno 0. Obzvlášť, když je 'x' v mocniteli, jako tady. y(0) bude rovno 2 minus '(1 lomeno 3) na 0'. To je rovno 2 minus 1, což je 1. '(1 lomeno 3) na 0' je 1. V kterém z těchto grafů platí pro 'x' rovno 0, že 'y' je rovno 1? Tady, 'x' je 0, 'y' je -1. Zde, 'x' je 0, 'y' je -1. Vypadá to jako -1. Tady, 'x' je rovno 0, 'y' je asi 1, takže toto je kandidát. Zde, 'x' je rovno 0, 'y' také vypadá jako 1, tyto dva případy jsou kandidáty pro tento předpis funkce. Zamysleme se nad chováním této funkce. Zamysleme se nad tím, co se stane, když se 'x' blíží velmi velkým číslům. Když se 'x' blíží velmi velkým číslům, představme si třeba y(1000), 1000 není zrovna velké číslo… To bude 2 minus '(1 lomeno 3) na 1000'. '(1 lomeno 3) na 1000', to bude velmi velmi malé číslo. Násobíme (1 lomeno 3) krát (1 lomeno 3)… Představte si tisíc (1 lomeno 3) a vynásobte je. Určitě dostanete číslo velmi blízké nule. Zapíšu to. Tato část bude blízká 0. Jinými slovy, když 'x' roste, tato část se blíží 0. Toto je velmi blízké nule. Tato věc, y(1000), bude blízká 2. Jinými slovy, když je 'x' větší a větší, tato část bude blíže a blíže nule, takže budete mít 2 minus něco blízké nule. Takže když 'x' roste, 'y' se blíží 2. Který z těchto dvou grafů se takto chová? Je to zřejmě tento vpravo. Když je 'x' větší a větší, vidíme, že 'y' je blíže a blíže 2. O tomto můžeme říct, že 'y' je rovno 2 minus '(1 lomeno 3) na x'. Můžeme se zamyslet i nad tím, když je 'x' menší, když je 'x' čím dál tím více záporné. (1 lomeno 3) na 'velké záporné číslo', to je jako 3 na 'velké kladné číslo'. Když je 'x' čím dál tím zápornější, toto bude 3 na větší a větší kladné číslo, které odečítáte od 2, takže 'y' bude více a více záporné. Tady vidíme, že s klesajícím 'x' je i 'y' čím dál tím více záporné. To je tedy konzistentí. Zamysleme se nyní nad touto funkcí. Zde vidíme, že 'y' je rovno '(1 lomeno 2) na x' minus 2. Nejdříve se můžeme ptát, kolik je y(0). y(0) bude '(1 lomeno 2) na 0' minus 2, což je rovno 1 minus 2, což je -1. Oba z těchto grafů jsou kandidáty pro tuto funkci. Když 'x' je rovno 0, 'y' je rovno -1. Je-li 'x' rovno 0, 'y' je -1. Zamysleme se nad chováním této funkce. S rostoucím 'x', čemu se bude blížit 'y'? Stejně jako jsme viděli zde, máme tu zlomek. Máme (1 lomeno 2) umocněno na velká čísla. Zamysleme se nad tím. Jak se to umocňuje na vyšší a vyšší čísla, tato část se blíží 0. (1 lomeno 2) krát (1 lomeno 2) krát… To se bude blížit 0 velmi rychle. S tímto blížícímu se 0, 'y' se bude blížit -2. S rostoucím 'x' se '(1 lomeno 2) na x' blíží 0. 'y' se tedy bude blížit -2 shora. Podívejme se, kde to vidíme. To vypadá jako tento graf zde. Opakuji, tyto grafy jsou kandidáty. Když je 'x' rovno 0, 'y' je rovno -1. Když dosadíme 'x' větší a větší, 'y' se blíží -2, protože tato část je menší a menší. Tento předpis patří k tomuto grafu. Můžete se zamyslet nad jeho chováním, když je 'x' více záporné. Když je 'x' více záporné, je to jako mocnit 2 na velké kladné číslo. Když je 'x' více záporné, 'y' je větší a větší. Dobrá, zbývají dva. 'y' je rovno '2 na x'. To může být ze všech nejjednodušší. 'y' se rovná '2 na x'. Je-li 'x' rovno 0, 'y' by mělo být rovno 1. Vidíme, že je to na tomto grafu. Je to jedna z nejzákladnějších mocninných funkcí. S rostoucím 'x' roste i 'y'. Toto je klasický tvar mocninné křivky. S klesajícím 'x', když 'x' nabývá záporných hodnot, mocníme 2 na velmi záporná čísla, představte si 'x'… Představte si y(-10). To není tak velké záporné číslo. To bude '2 umocněno na -10', což je rovno (1 lomeno 2) umocněno na 10. S klesajícím 'x' se bude tento výraz blížit 0. Tento předpis zřejmě patří k tomuto grafu. Konečně byste mohli říct, vylučovací metodou, že tento předpis představuje tento graf. Odůvodněme to. Tady opravdu záleží na pořadí operací. Vidíte-li -3 na 'x', může to být matoucí. Je to '(-3) na x' nebo je to -('3 na x')? Musíme si vzpomenout na pořadí operací. Umocňování má po závorkách nejvyšší prioritu. Nejdříve tedy umocníte. Umocníte 3 na 'x' a toto bude zápor toho výrazu. V podstatě to bude klasická mocninná funkce, ale kvůli záporu to převrátíte přes osu 'x'. To je přesně to, co tu vidíme. Když roste 'x', '3 na x' je větší a větší, ale pak vezmeme zápor, takže 'y' bude menší a menší. Podobně, s klesajícím 'x', '3 na x' se bude blížit 0. Je-li 'x' rovno 0, '3 na 0' je 1, ale máme před tím minus, vidíme, že 'y' je -1. Toto je 'y' se rovná -('3 na x').
video