Racionální mocniny II
Přihlásit se
Racionální mocniny II (5/8) · 5:25

Příklad na zjednodušení výrazu s mocninami 5 Další příklad, ve kterém máme součin s různými mocninami a ten je navíc pod třetí odmocninou. Naším úkolem je to celé zjednodušit.

Navazuje na Racionální mocniny I.
Naším úkolem je zjednodušit třetí odmocninu z (27 ‚a‘ na druhou krát ‚b‘ na pátou krát ‚c‘ na třetí). A kdykoliv se snažíme zjednodušit třetí odmocninu jako tady, tak cílem je podívat se na části výrazu, které jsou umocněny na třetí, vzít jejich základ a přemístit ho ven z odmocniny a zanechat v odmocnině vše, co není umocněno na třetí. Podívejme se, co můžeme udělat. Nejprve číslo 27 můžete nebo nemusíte rozpoznat jako třetí mocninu. Pokud to nepoznáte, můžete číslo rozložit na součin prvočísel, a uvidíte, že jde o třetí mocninu, 27 je 3 krát 9 a 9 je 3 krát 3, takže rozklad čísla 27 na prvočinitele je 3 krát 3 krát 3, což je úplně stejné jako 3 na třetí, takže přepíšeme celý výraz sem dolů a rozdělíme si výraz na části, které jsou umocněny na třetí a ty které nejsou. Takže 27 může být přepsáno jako 3 na třetí, poté máte ‚a‘ na druhou, což očividně není třetí mocnina, ale kdyby třetí člen byl umocněn na třetí, tak to napíšeme sem. Tady můžeme prohodit pořadí, protože máme jen pár navzájem násobených členů, takže napíšu člen mocněný na druhou sem. Samotné ‚b‘ na pátou není třetí mocnina, ale může být vyjádřeno jako součin třetí mocniny a jěště něčeho k tomu. ‚b‘ na pátou je to samé, jako (‚b‘ na třetí) krát (‚b‘ na druhou). Pokud to chcete rozepsat, tak ‚b‘ na pátou je b krát b krát b krát b krát b, takže první 3 členy jsou očividně to samé jako ‚b‘ na třetí a zbytek dává ‚b‘ na druhou, takže můžeme přepsat ‚b‘ na pátou jako součin třetí mocniny ‚b‘, takže napíši ‚b‘ na třetí, použiji stejnou fialovou barvu, takže tu máme ‚b‘ na třetí, to ‚b‘ na třetí vynásobíme ‚b‘ na druhou, takže sem napíši krát‚b‘ na druhou. Předpokládáme, že vynásobíme všechny členy. A nakonec máme… jinou barovu než modrou ‚c‘ na třetí, což je očividně třetí mocnina, takže ji dáme sem a máme tady ‚c‘ na třetí, a také máme ještě znaménko odmocniny, takže stále se snažíme získat třetí odmocninu z toho všeho. A z vlastností mocnin, nebo z vlastností odmocnin víme, že tohle je to samé jako třetí odmocnina toho všeho, a to je stejné jako když odmocníme každý člen jednotlivě a poté je vynásobíme, takže to je to samé jako třetí odmocnina. Mohu je vyjmout ven jednotlivě nebo mohu říct, že třetí odmocnina z 3 na třetí, ‚b‘ na třetí, ‚c‘ na třetí. Budu muset použít oba způsoby. Začnu je vyjímat jednotlivě, takže tohle je to samé jako (třetí odmocnina z 3 na třetí) krát třetí odmocnina… Použiji barevné značení tak, abychom se v tom vyznali. Krát (třetí odmocnina z ‚b‘ na třetí) krát (třetí odmocnina z ‚c‘ na třetí) krát třetí odmocnina a tyhle dva členy necháme pohromadě, protože nebudeme schopni je dál zjednodušit. Krát třetí odmocnina z (‚a‘ na druhou krát ‚b‘ na druhou)… Budu používat stále stejné barvy, abychom věděli, co je co. ‚a‘ na druhou, ‚b‘ na druhou, mohl jsem říct, že tohle je třetí odmocnina z ‚a‘ na druhou krát třetí odmocnina z ‚b‘ na druhou, ale to by nic nezjednodušilo, tak to nechám takhle. Teď se na tyto členy můžeme podívat jednotlivě. Třetí odmocnina z 3 na třetí nebo třetí odmocnina z 27, to jednoduše bude... Udělám to žlutou. To jednoduše bude 3, 3 na třetí je 3 na třetí nebo 27. Tento člen, třetí odmocnina z ‚b‘ na třetí, je roven b. A třetí odmocnina z ‚c‘ na třetí… touto barvou ne je samozřejmě ‚c‘. Takže celý tento výraz se zjednodušil na 3 krát ‚b‘ krát ‚c‘ krát druhá odmocnina z (‚a‘ na druhou ‚b‘ na druhou). A máme to. Rád bych udělal ještě jednu věc, protože jsem řekl, že ji udělám. Můžeme to zjednodušit takto, nebo můžeme rozpoznat, že tento výraz může být napsán jako (3 ‚b‘ ‚c‘) na třetí, ale pokud umocním každý ze tří prvků zvlášť a poté je vynásobím, dostanu to samé, jako kdybych je nejdřív vynásobil a až poté umocnil na třetí, což vyplývá přímo z vlastností exponentu. Takže to můžeme přepsat jako třetí odmocninu tohoto všeho krát třetí odmocninu z ((‚a‘ na druhou) krát (‚b‘ na druhou)). Třetí odmocnina z (3bc) na třetí se rovná jednoduše 3bc. A nyní to vynásobíme třetí odmocninou z (‚a‘ na druhou) krát (‚b‘ na druhou). Teď už neřeším barevné značení, protože jsme již přišli na jeden způsob řešení. Naštěstí to také dává smysl. Mohli jsme to vyřešit oběma způsoby, ale důležité je, že dostáváme stejný výsledek.
video