Vlastnosti čísel
Přihlásit se
Vlastnosti čísel (16/17) · 6:52

Obory čísel 3 Zařazení čísla 3,4028 periodických do číselného oboru.

... Do které množiny patří číslo 3,4028, ve kterém se číslice 28 pořád opakují? A před tím, než na to odpovíme, zamysleme se nad tím, co to znamená. A zvlášť, co znamená ta čárka tady nahoře. Ta čárka nahoře znamená, že ta 28 se prostě pořád do nekonečna opakuje. Takže bych to číslo mohl vyjádřit jako 3,4028, a 28 se pořád opakuje. Opakuje se pořád a pořád dokola. Mohl bych je psát do nekonečna. Je zřejmě snazší napsat tady nad 28 tu čárku a říci, že se to pořád opakuje. Zamysleme se teď, do které číselné množiny to patří. Ta nejširší číselná množina, kterou jsme se doposud zabývali, jsou reálná čísla. A toto rozhodně k reálným číslům patří. Reálná čísla je v podstatě celá osa čísel, kterou používáme. A 3,4028 s periodou patří někam sem. Když toto je -1, toto je 0, 1, 2, 3, 4. 3,4028 je trochu více než 3,4 a trochu méně než 3,41. Bylo by právě někde tady. Takže rozhodně je na číselné ose. Je to reálné číslo. Takže je rozhodně reálné. Je to určitě reálné číslo. Méně zřejmá je otázka, zda je to racionální číslo. Pamatujte, racionální číslo je takové číslo, které může být vyjádřeno jako racionální výraz nebo jako zlomek. Kdybych Vám řekl, že 'p' je racionální, znamená to, že číslo 'p' může být vyjádřeno jako zlomek dvou celých čísel. To znamená, že 'p' může být vyjádřeno jako zlomek dvou celých čísel, m/n. Takže otázkou je, můžeme toto vyjádřit jako zlomek dvou celých čísel? Nebo jinak, můžeme to vyjádřit jako zlomek? Abychom to udělali, vyjádřeme to jako zlomek. Definujme 'x' rovno tomuto číslu. Tedy 'x' se rovná 3,4028 s periodou. Zamysleme se nad tím, kolik je 10000 krát 'x'. 10000 krát 'x' chci z toho důvodu, že tady chci posunout desetinnou čárku úplně doprava. Tedy 10000 krát 'x'. Kolik se to bude rovnat? No, pokaždé, když násobíte mocninou 10, posouváte desetinnou čárku doprava. 10000 je 10 na čtvrtou. Takže je to jako posunout desetinnou čárku o čtyři místa doprava. 1, 2, 3, 4. Takže to bude 34028. Ale těch 28 se pořád opakuje. Takže se nám ta 28 bude pořád a pořád a pořád opakovat. Jen se všechny posunuly o pět míst doleva kolem desetinné čárky. Můžete se tak na to dívat. Dává to smysl. Je to skoro 3 a 1/2. Když to vynásobíte 10000, dostanete skoro 35000. Takže to je 10000 krát 'x'. Teď se zamysleme také nad 100 krát 'x'. A celé to cvičení je tu o tom, že chci dostat dvě čísla, která když je odečtu a jsou vyjádřena s 'x', ta opakující se část zmizí. Pak s nimi může počítat jako s normálními čísly. Takže se zamysleme, kolik je 100 krát 'x'. 100 krát 'x'. To posune desetinnou čárku. Pamatujte, že ta byla prvně tady. Posune ji to doprava o dvě místa. Tedy 100 krát 'x' by bylo 300... Napíšu to takhle. Bylo by to 340,28 s periodou. Mohli bychom tu 28 opakovat, ale nemělo by to smysl. Chcete to vždy napsat po desetinné čárce. Tedy musíme znovu napsat 28, aby bylo vidět, že se opakuje. Teď je to zajímavé. Tyto dvě čísla jsou jen násobky 'x'. A když odečtu to spodní od horního, co se stane? Ta opakující se část zmizí. Takže do toho. Udělejme to na obou stranách rovnice. Pojďme na to. Na levé straně rovnice, 10000 krát 'x' minus 100 krát 'x', to bude 9900 krát 'x'. A na pravé straně rovnice, uvidíme... ta desetinná část se zruší. Musíme jen přijít na to, kolik je 34028 minus 340. Vyřešme to tedy. 8 je větší než 0, tedy tu nemusíme nic přeskupovat. 2 je menší než 4. Musíme to přeskupit, ale ještě si nemůžeme půjčit, protože tu máme 0. A 0 je menší než 3, musíme to přeskupit nebo si "půjčit". Půjčme si nejdřív od 4. Půjčíme si od 4, toto bude 3 a toto bude 10. A pak ta 2 může půjčit od 10. Tohle bude 9 a toto 12. A teď můžeme odečítat. 8 minus 0 je 8. 12 minus 4 je 8. 9 minus 3 je 6. 3 minus nic jsou 3. 3 minus nic jsou 3. Tedy 9900 krát 'x' se rovná 33 688. Odečetli jsme 340 od tady toho nahoře. Dostali jsme 33688. Teď, když to to chceme vyřešit pro 'x', vydělíme obě strany rovnice 9900. Vydělíme levou stranu 9900. Vydělíme pravou stranu 9900. A co nám zbylo? Máme 'x' se rovná 33688 děleno 9900. A co je na tom za problém? No, 'x' bylo toto číslo, 'x' bylo to číslo, se kterým jsme začali, to číslo, které se pořád opakovalo. Díky tomu, že jsme udělali pár algebraických úprav a odečtení jednoho násobku toho čísla od druhého, můžeme to 'x' vyjádřit jako zlomek. Toto není řečeno nejjednodušeji. Myslím tím, že obě jsou dělitelné 2 a vypadá to, že taky 4. Můžete to teda dát do nejméně běžného tvaru, ale to je nám jedno. Nám záleží na tom, že můžeme vyjádřit 'x', můžeme ho vyjádřit jako zlomek. Jako zlomek dvou celých čísel. Takže to číslo je také racionální. Je také racionální. A tento postup, co jsme dělali, se nevztahuje pouze na toto číslo. Pokaždé, když máte číslo s periodou, můžete to udělat. Takže obecně, opakující se číslice jsou racionální. Ty iracionální jsou ty, které se nikdy vůbec neopakují, jako pí. A ty další věci, myslím, že je zřejmé, že to není celé číslo. To by to muselo být celé číslo, celek. Takže toto je někde mezi dvěma celými čísly. Není to přirozené nebo celé kladné číslo, která jsou někdy uvažována jako podmnožina celých čísel . Není to tedy žádné z nich. Je tedy reálné a racionální. To je vše, co o něm můžeme říci.
video