Složené funkce
Přihlásit se
Složené funkce (9/9) · 6:40

Posun a zrcadlení funkcí Ukážeme si, jak se posunutí nebo převrácení grafu funkce projeví na funkčním předpisu. Budeme vždy navzájem porovnávat dvě takto pozměněné funkce.

Navazuje na Funkce definované po částech.
... Tato červená křivka je graf funkce f(x). A tato modrá křivka je graf funkce g(x). A já bych chtěl vyjádřit g(x) pomocí f(x). Tak se podívejme, jak spolu souvisejí. Vybereme si jakékoli 'x'. Můžeme začít hned tady, na vrcholu funkce f(x). A vidíme že, alespoň v tomto bodě, g(x) je přesně o 1 vyšší než toto. Takže g(2)... Napíšu to... g(2) se rovná f(2) plus 1. Podívejme se, zda to platí pro jakékoli 'x'. Můžeme si vzít vzorek třeba tady. Tak, f(4) je přímo zde. g(4) je o 1 víc. f(6) je zde, g(6) je o 1 víc. Takže se zdá, že když vybereme jakýkoli bod zde... I když je tu trochu optická iluze, zdá se, že se k sobě přibližují. Skutečně se přibližují, když hledáte jejich nejmenší vzdálenost. Ale když se podíváte na svislou vzdálenost, vidíte, že zůstává konstantní: 1. Takže to můžeme v podstatě zevšeobecnit. Platí to pro jakékoli 'x'. g(x) se rovná f(x) plus 1. Udělejme si na to pár dalších příkladů. Takže tady, f(x) je zase zakreslena červeně a tady je g(x). Vyberme si třeba x rovno -4. Toto je f(-4). A vidíme, že g(-4) je o 2 menší. A dále vidíme, že ať máme jakékoli f(x), nehledě na to, jaké 'x' vybereme, g(x) je vždy přesně o 2 menší. g(x) je vždy přesně o 2 menší. Takže v tomto případě, velice podobném tomu předchozímu, g(x) bude rovno f(x)... Ale místo přičítání odečteme 2 od f(x), takže f(x) minus 2. Udělejme si pár dalších příkladů. Tady máme opět f(x) zakreslenou červeně. Označím to. f(x). A tady je g(x). Zamysleme se nad tím trochu. Vyberme si zde náhodný bod. Řekněme, že máme tady ten bod na červené, s hodnotou f(-3). Toto je -3. Toto je bod (-3, f(3)). A 'g' má tu samou hodnotu, když je 'x' rovno -1. Zamysleme se nad tím. g(-1) je rovno f(-3). A můžeme si to vyzkoušet na spoustě bodů. Můžeme vidět, že g(0), což je zde... (Zaznačím to jinou barvou, abyste to viděli.) g(0) odpovídá f(-2). Zapíšu to. g(0) se rovná f(-2). Můžeme takto pokračovat. Můžeme vybrat g(1), což je tady. Toto je 1. g(1) se rovná f(-1). g(1) se rovná f(-1). Myslím, že už zde vidíte určitý vzorec. Funkce 'g', ať už má v závorce cokoli, se rovná funkci 'f', která má v závorce hodnotu vždy o 2 menší. Takže můžeme říct, že g(x) se rovná f... Bude to o 2 menší než 'x'. Takže f(x minus 2). To je vztah mezi nimi. g(x) se rovná f(x minus 2). A co je důležité si uvědomit: Když zde mám f(x minus 2)... A uvědomte si, že je to funkce, která se právě určuje, toto je vstup. (x minus 2) je vstup. Když odečtu 2, posune to tuto funkci doprava, což není moc intuitivní, pokud si neuděláte toto cvičení. Takže g(x) se rovná f(x minus 2). Kdyby to bylo f(x plus 2), funkce 'f' by se posunula doleva. Teď se zamysleme nad tímto. Tento příklad vypadá trochu prapodivně. Zaprvé, g(x) vypadá skoro jako zrcadlový obraz, ale trošku zploštělý. Zkusme to tedy promyslet. Vezměme zrcadlový obraz toho, co je g(x). Zkusím to co nejlépe zakreslit. Bude to protínat zhruba 2 tady, pak se to přiblíží 1 zde. A pak se to dostane někam sem. Takže zrcadlový obraz by vypadal nějak takto. Je to zrcadlový obraz, souměrný podle osy 'x'. Vypadá tedy nějak takto. ... Takže toto zde... Toto je tedy g(x), a když to takto přetočíme, dostaneme -g(x). Když se 'x' rovná 4, g(x) se rovná asi -3 a 1/2. Pokud k tomu přidáte minus, dostanete plus... (Mělo by to být o trochu blíž...) Dostanete +3 a 1/2, pokud vezmete přesný zrcadlový obraz. Takže je to -g(x). Ale to pořád není náš výsledek. Vypadá to, že budeme muset ve skutečnosti ztrojnásobit tuto hodnotu pro jakýkoli bod. Vidíte to zde. Toto nás dostane k 2, ale my se potřebujeme dostat k 6. Toto nás dostane k 1, ale my potřebujeme ke 3. Takže to vypadá, že tento červený graf je 3 krát tento graf. Takže toto je 3 krát -g(x), což se rovná -3g(x). Zde tedy máme f(x) se rovná -3 krát g(x). A kdybychom chtěli vyřešit g(x) -- g(x) pomocí f(x) -- vydělili bychom obě strany -3 a dostali bychom g(x) se rovná -1/3(x).
video