Elektřina
Elektřina (6/6) · 13:27

Důkaz (pokročilý): El. pole nekonečné desky (část 1) Elektrické pole generované stejnoměrně nabitou nekonečně velkou deskou

V tomto videu budeme zkoumat elektrické pole tvořené nekonečně velkou, stejnoměrně nabitou deskou. A proč? Zaprvé, protože zjistíme, že její elektrické pole je konstantní, což je samo o sobě fajn, a pak je důležité si to uvědomit, až budeme mluvit o rovnoběžných nabitých deskách a kondenzátorech, protože učebnice říkají, že je jejich pole konstantní, ale nikdy to nedokážou. Takže si to dokážeme teď. Základem všeho je zjistit, jaký je náboj nekonečně nabité desky. Podívejme se na tu desku z boku a pokusme se získat nějakou představu. Tohle je boční pohled na naši desku, která má hustotu náboje „sigma“. Co je hustota náboje? To je prostě počet coulombů na nějakou plochu. Hustota náboje se rovná náboji na jednotce plochy. To je „sigma“. Všude máme stejnou hustotu náboje. Předtím než se pustíme do hardcore matematiky, pokud koukáte na matematický seznam videí měli byste si zopakovat některá videa z elektrostatiky ve fyzikálních videích, což by pro vás mělo být jednoduché. Koukáte-li na fyzikální seznam videí a nekoukali jste na matematická videa, asi se vám zavaří hlava. Takže jdeme na to. Ještě jednou, tohle je nekonečná deska, pokračuje všemi směry, i ven z videa, a díváme se na ni z boku. Umístíme si sem bodový náboj „q“. Teď se na chvilku zamyslíme. Vezměme si malou plošku na desce, jaké asi bude celkové působení té plošky na náš bodový náboj? Řekněme, že bodový náboj je nad deskou ve výšce „h“. Nakreslím to. Tohle je výška „h“. A bod na desce přímo pod bodovým nábojem je ve vzdálenosti „r“ od naší plošky. Jaká je vzdálenost mezi ploškou a bodovým nábojem? Jak velká je vzdálenost, kterou nakreslím růžově? Jakou má velikost? Jakou má velikost? Použijeme Pythagorovu větu. Máme pravoúhlý trojúhelník, takže je to odmocnina téhle strany na druhou plus téhle strany na druhou. Takže to bude odmocnina z „h“ na druhou plus „r“ na druhou. Máme tedy vzdálenost mezi ploškou a testovacím nábojem. Pojďme si udělat trochu představu. Pokud jsou bodový testovací náboj i deska pozitivně nabité, síla působící na náboj z téhle plošky bude mířit radiálně ven, takže to bude -nakreslím to jinou barvou- takže bude mířit tímto směrem. Ale protože je to ve všech směrech nekonečná deska, bude na ní existovat další ploška, v symetrickém postavení k té první vůči bodovému náboji, jejíž celkové elektrostatické působení na náboj bude v tomhle směru. A protože máme rovnoměrně rozloženou hustotu náboje a deska je ve všech směrech symetrická, x-ové, horizontální, části všech sil se navzájem vyruší. To platí pro všechny body kolem desky. Protože ať si vybereme jakýkoliv bod... Podívejme se na to shora, samozřejmě deska pokračuje ve všech směrech do nekonečna, a tady je náš bodový náboj, a tady je bod na desce působící na náš bod elektrickou silou. Má y-ovou složku, která v tomto horním pohledu míří ven z videa směrem k vám a taky má x-ovou složku, která ale bude vyrušena x-ovou složkou tohoto bodu. Vždy totiž můžete najít desce bod, který je symetrický k postavení původního a jehož x-ová složka síly vyruší ten první. Což vysvětluje, proč celková síla na náš bodový náboj bude mířit jenom nahoru. Myslím, že je jasné, že se všechny x-ové složky síly vyruší, protože z každé strany na náboj působí nekonečně mnoho bodů nabité desky. Tak, to bychom měli, a co dál? Zaměříme se na y-ovou složku elektrostatické síly. Jaká je y-ová složka? Takže tahle ploška -zase změním barvy- Tahle ploška, v bočním pohledu, působí... Intenzita jejího elektrického pole v tomto bodě je „E_1“ a míří tímto směrem. Jaká je její y-ová složka? Jaká je složka v tomto směru? Samozřejmě míří ven, protože to je obojí kladné, ale jak je velká? Kdybychom znali tenhle úhel „théta“, y-ová složka by pak byla intenzita pole, „E_1“, krát kosinus „théta“. Kosinus je přilehlá ku přeponě, takže přepona krát kosinus „théta“ je přilehlá. Pokud chceme spočítat y-ovou složku elektrického pole, vynásobíme jeho velikost kosinem „théta“. Jak zjistíme „théta“? No, tato „théta“ je stejná jako tato, to je základní trigonometrie. Kosinus „théta“ je přilehlá ku přeponě. Kosinus „théta“ je přilehlá -„a“ ku přeponě -„h“. A pro tenhle úhel, který je stejný jako tento, je tohle přilehlá a tohle přepona. K čemu to je? Y-ová složka elektrického pole naší plošky... označme ji indexem 1, protože je to jen malá část celkového elektrického pole. ...se rovná velikosti celkového el. pole naši plošky krát kosinus „théta“, což se rovná el. poli krát přilehlá -výška ku přeponě -odmocnina z „h“ na druhou plus „r“ na druhou. Tak. Jak zjistíme velikost elektrického pole, „E_1“, abychom ji dosadili zpátky do rovnice a zjistili y-ovou složku? Vlastně nezjistíme el. pole pouze pro tuto plošku, ale i pro všechny plošky, které leží na prstenci o poloměru „r“. Nakreslíme si to z perspektivy. Znovu si nakreslím desku žlutě, jako předtím. Tohle je moje nekonečná deska. Pokračuje do všech směrů. A tady nad ní je náboj ve výšce „h“. A tenhle bod je někde tady. Teď nakreslím prstenec o poloměru „r“. Všechny plošky na prstenci jsou stejně daleko od našeho testovacího náboje. Jsou stejné jako naše ploška. Tohle je vlastně průřez prstencem, který teď kreslím. Jaká je pak y-ová složka síly působící z prstence na náš náboj? Na to potřebujeme zjistit plochu prstence, vynásobit ji hustotou náboje, tím získáme celkový náboj prstence, a pak z Coulombova zákona zjistíme intenzitu pole v daném bodě. Pak z rovnice, kterou tu máme, získáme y-ovou složku. Je to komplikované, ale stojí to za to, protože zjistíme, že el. pole je konstantní. Jdeme na to. Nejdřív spočítáme celkový náboj prstence. Náboj prstence -„Q_r“ se rovná obvodu kružnice krát šířka prstence. Obvod kružnice je 2 pí „r“. Tento prstenec je velmi úzký, je infinitezimálně široký. Má šířku „dr“. Takže toto je plocha toho infinitezimálně širokého prstence a jeho náboj je tato plocha vynásobená hustotou náboje -„sigma“. Toto je náboj toho prstence. Ale jak velkým el. polem působí prstenec na náš bodový náboj? Coulombův náboj nám říká, že síla vyvolaná prstencem se rovná Coulombově konstantě („K“) násobené nábojem prstence a velikostí bodového náboje, to celé děleno vzdáleností („d“) na druhou. A jaká je vzdálenost jakéhokoliv bodu na prstenci a náboje? Tohle může reprezentovat kterýkoliv bod na prstenci, je to průřez. Jejich vzdálenost je znovu daná Pythagorovou větou, protože tohle je taky r. Vzdálenost je rovna odmocnině z „h“ na druhou + „r“ na druhou. Stejně jako předtím. Takže to je vzdálenost „d“ na druhou. To se tedy rovná „K“ krát náboj prstence, krát bodový náboj, děleno vzdálenost na druhou. Vzdálenost je odmocnina z „h“ na druhou plus „r“ na druhou, takže když to umocníme, dostaneme jenom „h“ na druhou plus „r“ na druhou. Elektrická intenzita prstence je pak jenom síla ku testovacímu náboji, tudíž pokud podělíme obě strany „Q_r“, zjistíme, že el. intenzita prstence se rovná Coulombově konstantě krát náboj prstence, děleno „h“ na druhou plus „r“ na druhou. Jaká pak bude y-ová složka intenzity pole prstence? Prostě tohle... Zrovna jsme spočetli velikost tohohle vektoru. Ale chceme jenom jeho y-ovou složku, protože x-ové se navzájem vyruší, takže to vynásobíme kosinem „théta“, který jsme již zjistili -je to toto. Takže to tím vynásobíme. Y-ová složka elektrické intenzity prstence je pak její velikost krát kosinus „théta“, což je „h“ lomeno odmocnina z „h“ na druhou plus „r“ na druhou. Můžeme to trochu zjednodušit. Jmenovatel je pak „h“ na druhou plus „r“ na druhou to celé na tři poloviny. A v čitateli máme „K“, „h“ a náboj prstence, který jsme vyřešili tady. 2 pí, „sigma“, „r“, nezapomeňme na „dr“. Takže teď máme y-ovou, vertikální, složku intenzity el. pole ve výšce „h“ nad deskou. Ale to je příspěvek pouze od toho jednoho prstence o poloměru „r“! A protože jsme ve dvanácté minutě a všichni toho máme dost, budeme pokračovat příště. Ale tušíte, co uděláme, že? Teď známe pole generované tímto prstencem, takže to zintegrujeme přes celou plochu. Tím zahrneme všechny prstence o poloměru v rozsahu nula až nekonečno. To nám dá výsledný příspěvek elektrického pole celé nekonečné desky ve výšce „h“ nad touto deskou. Na viděnou v dalším videu.
video