Rozptyl rozdílu náhodných proměnných Rozptyl rozdílu náhodných proměnných

- V tomto videu bych rád vytvořil nástroje, s jejichž pomocí můžeme pracovat se součty a rozdíly náhodných proměnných. Řekněme, že máme dvě náhodné proměnné x a y a že jsou zcela nezávislé. Jsou to nezávislé náhodné proměnné. - Budu pokračovat o něco dál než je tento zápis. Pokud bychom chtěli znát očekávanou, nebo pokud bychom hovořili o očekávané hodnotě náhodné proměnné x, bude stejná jako průměrná hodnota této náhodné proměnné x. Pokud budeme hovořit o očekávané hodnotě y, bude stejná jako průměr y. Pokud hovoříme o rozptylu náhodné proměnné x, bude stejný jako očekávaná hodnota vzdáleností mezi naší náhodnou proměnnou x a jejím průměrem na druhou. To je tedy očekávaná hodnota rozdílu na druhou. Můžete také použít zápis sigma na druhou náhodné proměnné x. Zatím jen shrnuji věci, které už známe, ale chci je připomenout, protože z nich budu vycházet, až budu vytvářet naše nové nástroje. To samé provedeme s náhodnou proměnnou y. Rozptyl náhodné proměnné y je očekávaná hodnota rozdílu mezi náhodnou proměnnou y a průměrem y na druhou. A to se rovná sigma na druhou y. To je rozptyl proměnné y. Možná už znáte vlastnosti očekávaných hodnot a rozptylů, já je ale raději ještě připomenu. Nebudu je nějak pečlivě dokazovat, myslím, že jsou poměrně stravitelné. Jednou z vlastností je, že když mám nějakou třetí náhodnou proměnnou, která je definovaná jako součet náhodné proměnné x a náhodné proměnné y. Nechám původní barvy, aby to bylo jasnější. Náhodná proměnná x plus náhodná proměnná y. Jaká bude očekávaná hodnota "z"? Očekávaná hodnota "z" se rovná očekávané hodnotě x plus y. To je vlastnost očekávaných hodnot - nebudu to tu nějak pečlivě dokazovat - rovná se očekávaná hodnota x plus očekávaná hodnota y. Můžeme to zapsat i jinak - průměr "z" bude průměr x plus průměr y. Nebo ještě jiný způsob... Řekněme, že máme nějakou jinou náhodnou proměnnou. Už mi docházejí písmena. Řekněme, že máme náhodnou proměnnou "a" a já ji definuji jako x mínus y. Jaká bude očekávaná hodnota "a"? Očekávaná hodnota "a" se rovná očekávané hodnotě x mínus y, a to se rovná... můžete buď říci, že je to očekávaná hodnota x plus očekávaná hodnota záporného y, nebo očekávaná hodnota x mínus očekávaná hodnota y, a to je stejné jako průměr x mínus průměr y. Průměr naší náhodné proměnné "a" se tedy bude rovnat tomuhle. Stále ještě jenom opakuji, co už známe a co pak použiji, až začneme mluvit o rozděleních, která jsou součty a rozdíly jiných rozdělení. Nyní se zamysleme nad tím, jaký bude rozptyl náhodné proměnné z a jaký bude rozptyl náhodné proměnné a. Rozptyl "z"... možná už tušíte... Dává to smysl. Pokud je "x" zcela nezávislé na "y" a pokud mám nějakou náhodnou proměnnou, která je jejich součtem, pak bude očekávaná hodnota takové proměnné, té nové proměnné, součtem očekávaných hodnot těch prvních dvou, protože jsou nezávislé. Pokud tady bude očekávaná hodnota 5 a tady 7, je logické, že očekávaná hodnota tady bude 12, za předpokladu, že jsou zcela nezávislé. A teď ... jaký je tedy rozptyl mé náhodné proměnné z? Znovu, nebudu nijak pečlivě dokazovat, jde jen o vlastnost rozptylů. Použiji to, abych zjistil, jaký bude rozptyl naší náhodné proměnné a. Pokud je tato průměrná vzdálenost na druhou nějaký rozptyl a toto je zcela nezávislé, průměrná vzdálenost na druhou je nějaká vzdálenost, pak se rozptyl jejich součtu rovná součtu jejich rozptylů. Toto se tedy rovná rozptylu náhodné proměnné x plus rozptyl náhodné proměnné y. - Můžeme to vidět i tak, že rozptyl "z", který se rovná rozptylu x plus y, se rovná rozptylu x plus rozptyl náhodné proměnné y. Doufám, že to dává smysl. Nebudu pečlivě dokazovat. Můžete to najít v mnoha učebnicích statistiky. Chci vám ale ukázat, že rozptyl náhodné proměnné "a" je vlastně úplně to samé. A to je na tom zajímavé, protože byste se mohli ptát, proč je to součet a ne rozdíl? Támhle jsme měli rozdíly. Zkusíme s tím trochu experimentovat. Rozptyl - jen to sem napíšu - rozptyl náhodné proměnné "a" se rovná rozptylu x mínus y a to se rovná - i tak se to dá zapsat - rovná se rozptylu x plus záporné y. Tyto výroky jsou rovnocenné. Můžeme to zapsat i takto: rovná se - použiju tady to nahoře, součet těchto dvou rozptylů - rovná se součtu rozptylu x plus rozptyl -y. Chci vám ukázat, že rozptyl -y, záporné náhodné proměnné, bude stejný jako rozptyl y. Jaký je tedy rozptyl -y? Rozptyl -y se rovná rozptylu -y a to se rovná očekávané hodnotě vzdálenosti mezi -y a očekávanou hodnotou -y, to celé na druhou. Tak to s rozptylem skutečně je. Jaká je očekávaná hodnota tady toho -y? Ještě lepší. Vytknu -1. Co teď máme v závorkách? -1 na druhou krát y plus očekávaná hodnota -y. Tedy úplně to samé v závorkách a na druhou. Všechno růžové nahoře, je růžové i tady a je to očekávaná hodnota toho celého. - Jaká je očekávaná hodnota -y? Očekávaná hodnota -y, očekávaná hodnota záporné náhodné proměnné je záporná očekávaná hodnota této náhodné proměnné. Když se na to podíváme, můžete to zapsat jinak jako očekávaná hodnota... rozptyl -y je očekávaná hodnota... tohle je 1. -1 na druhou je 1. Tady máme "y" a místo, abychom napsali plus očekávaná hodnota "-y", je to stejné jako mínus očekávaná hodnota "y". A to celé na druhou. Všimněte si, že je to úplně to samé jako rozptyl "y". Nyní jsme vám ukázali... toto je rozptyl y. Nyní jsme vám tedy ukázali, že rozptyl rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných se rovná součtu rozptylů. Můžete určitě věřit tady tomu. Rovná se součtu rozptylu první proměnné plus rozptyl záporné druhé proměnné. Ukázali jsme také, že tento rozptyl se rovná rozptylu kladné verze této proměnné, což dává smysl. Vzdálenost od průměru bude stejná bez ohledu na to, zda vezmete kladnou nebo zápornou hodnotu proměnné. Zajímá vás pouze absolutní vzdálenost. Dává tedy úplně smysl, že toto číslo a toto číslo bude stejné. Důvod, proč jsme se touto úlohou zabývali a co si z ní odnést je, že průměr rozdílů tady... mohu to také zapsat jako průměr rozdílu náhodných proměnných rovná se rozdílu jejich průměrů. Druhá důležitá věc, kterou byste si měli odnést a na kterou navážu v několika následujících videech, je, že rozptyl rozdílu... když definuji novou náhodnou proměnnou jako rozdíl jiných dvou náhodných proměnných, rozptyl této náhodné proměnné je součtem rozptylů oněch dvou náhodných proměnných. Toto jsou dva důležité body, které vyplývají z této naší úlohy a na které navážu v dalších videech. Doufám, že to nebylo příliš zmatené. Pokud ano, můžete přijmout ty dva závěry bez přemýšlení a brát je jako další nástroje, které můžete používat. -