Reakční kinetika
Přihlásit se
Reakční kinetika (6/18) · 7:14

Integrovaný tvar rychlostní rovnice pro reakce 1. řádu Ukážeme si, jak se počítá koncentrace po určitém čase průběhu reakce prvního řádu. Odvození pomocí řešení diferenciální rovnice.

Řekněme, že máme reakci prvního řádu, kde se reaktant A mění na produkty. V čase t rovno nula máme počáteční koncentraci A. Po nějakém čase t máme koncentraci A v tomto čase t. Pojďme zjistit rychlost této reakce. V minulém videu jsem rychlost reakce vyjádřili jako ubývání množství A. Řekli jsme, že rychlost reakce je změna koncentrace A lomeno změna času a vložili jsme před zlomek minus, aby rychlost reakce vyšla kladná. Také jsme napsali rychlostní zákon, kde rychlost je rovna rychlostní konstantě k krát koncentrace A a vzhledem k tomu, že se jedná o reakci prvního řádu, tak je koncentrace na první. O tom jsme mluvili v minulém videu. Obojí můžeme vzájemně porovnat. Vzhledem k tomu, že obojí je rychlost R, můžeme porovnat levé strany, tedy minus změna koncentrace A lomeno změna času t je rovno rychlostní konstanta k krát změna koncetrace A na první. Zde vlevo je průměrná rychlost reakce. Pokud budeme chtít okamžitou rychlost, musíme použít diferenciální počet. Okamžitá rychlost bude minus dA vzhledem k času t, čili dt, což je rovno k krát A na první. Nyní máme diferenciální rovnici. Pokud vyřešíte diferenciální rovnici, tak získáte funkci. Naše funkce bude koncentrace v závislosti na čase. Prvním krokem k vyřešení diferenciální rovnice je oddělení proměnných. Potřebujete dostat všechna A na jednu a všechna t na druhou stranu rovnice. Potřebujete obojí vydělit A. Pak dostaneme dA lomeno koncentrace A. Obě strany vynásobíme dt, čímž získáme t na pravé straně, takže vpravo bude k krát dt. Minus dáme na pravou stranu. Pár věcí jsme pozměnili, abychom byli připraveni na integrování. Poté co jste oddělili své proměnné, můžete integrovat. Integrujeme levou stranu a vzhledem k tomu, že k je konstanta, tak vložím integrál vpravo takto, konstantu před integrál. A podívejme se na meze integrování. Pro čas t budeme integrovat v rozmezí od nuly do t. A pro koncentraci budeme integrovat od počáteční koncentrace A do koncentrace A v čase t. Pojďme toto vložit do rovnice. Takže budeme integrovat od nuly do t na pravé straně. Na levé straně budeme integrovat od počáteční koncentrace A do koncentrace A v čase t. Na levé straně je dA lomeno A, což je přirozený logaritmus A. Takže to bude přirozený logaritmus A v rozmezí od počáteční koncentrace do koncentrace v čase t. Vpravo, integrál dt je t. Takže máme minus k krát t v rozmezí od nuly do t. Dále použijeme základní větu integrálního počtu. Na levé straně budeme mít přirozený logaritmus koncentrace A v čase t minus přirozený logaritmus počáteční koncentrace A a na pravé straně budeme mít minus k krát t. Toto je jeden ze způsobů, jak napsat rychlostní zákon v integrovaném tvaru. Toto je rovnice reakce prvního řádu. Toto je integrovaná forma rychlostního zákona. Je to jedna z možností, jak ho psát. Můžete ho také napsat i jinými způsoby, což uvidíme v jiném videu. Je to jedna z rovnic, se kterou můžete vyřešit různé příklady. Pojďme ji trochu upravit. Přesuňme přirozený logaritmus počáteční koncentrace A na pravou stranu. Dostaneme přirozený logaritmus koncentrace A v čase t roven minus k krát t plus přirozený logaritmus počáteční koncentrace A. Důvod, proč jsem to takto přepsal je ten, že to vyjadřuje lineární funkci. Vzpomeňte: y je rovno m krát x plus b, což je graf lineární funkce. A pokud zapřemýšlíte, jak nakreslit tento graf, tak na osu y vynesete přirozený logaritmus koncentrace A v čase t a na osu x pak vynesete čas t. Pak uvidíme, že m je minus k, což je směrnice grafu a b je průsečík s osou y, což je v našem případě přirozený logaritmus počáteční koncentrace A. Pokud dáme dohromady graf... ...udělám zde rychlý náčrt grafu... Zde budeme mít osu y a zde pak osu x. Pojďme označit naše osy. Vlevo na ose y bude přirozený logaritmus koncentrace A v čase t. A na osu x vložíme čas t. Graf této funkce by měla být přímka. Grafem tedy bude přímka. Nakreslím ji zde. Načrtnu zde tuto přímku takto. Zde bude náš průnik s osou y. Průnik s osou y by měl být přirozený logaritmus počáteční koncentrace A. Čili tento bod je průnik s osou y, což by měl být přirozený logaritmus počáteční koncentrace A. Směrnice naší přímky, tedy m odsud by mělo být minus k z naší rovnice. Směrnice této přímky je tedy rovna minus k. Z této směrnice tedy můžete zjistit rychlostní konstantu, Graf závislosti přirozeného logaritmu koncentrace A v čase t na čase t je přímka se směrnicí minus k.
video