Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (11/13) · 8:23

Zlatý řez a Rembrandtův autoportét Na obrazu s Rembrandovým autoportrétem si ukážeme kouzlo v umění často používaného zlatého řezu.

Tohle je autoportrét, který namaloval Rembrandt v roce 1640, a hodně zajímavé na něm je, že jako jiným velkým umělcům, jako například Leonardu da Vinci, Salvadoru Dalí a mnoha dalším, Rembrandtovi opravdu záleželo na něčem, co se nazývá zlatý řez. Udělal jsem o tom celá videa. A jde o tohle fascinující číslo, které se obvykle označuje řeckým písmenem fí (φ). Kdybyste ho chtěli rozšířit, jde o iracionální číslo, 1,61803 a pak pokračuje pořád dále do nekonečna, ale existují opravdu skvělé matematické vlastnosti fí neboli zlatého řezu. Když začnete s fí a chystáte se k němu přičítat, a nebo raději začněme takhle. Pokud začnete s 1 a přičtete k ní 1 lomeno fí.. Napíšu svoje fí trochu líp.. Pokud tedy přičtete 1 lomeno fí, dostanete fí! To je docela bezva věc. Když teď vynásobíte obě strany rovnice fí, získáte, když začnete s fí, a poté přičtete 1, získáte fí. Takže jde o číslo, ke kterému když přičtete 1, získáte jeho druhou mocninu. To jsou opravdu dost bezva věci. Můžeme ho dokonce zapsat jako řetězový zlomek. fí by mohlo být přepsáno jako 1 plus 1 lomeno (1 plus 1 lomeno (1 plus 1...)) a mohli bychom tak pokračovat donekonečna. To vám také dává fí. Snad už tedy trochu rozumíte, že je to vážně super číslo. A to nejen matematicky, ale objevuje se i v přírodě a je to něco, na čem umělcům záleželo, protože věřili, že pomáhá definovat lidskou krásu. A my vidíme, že na tom Rembrandtovi hodně záleželo právě na tomto obrazu. A jak to poznáme? To si právě trochu rozebereme s pomocí cvičení v tomto videu. Můžeme zkonstruovat trojúhelníky. Tyto trojúhelníky očividně nejsou součástí originální malby. Přenesli jsme je tam. Ale kdybyste dali základnu trojúhelníku přesně tam, kde spočívá jeho ruka, a pak byste přidali dvě strany toho trojúhelníku, aby obrýsovaly jeho paže a ramena a setkaly se ve špičce na vrcholu oblouku, sestrojili byste trojúhelník ABD stejně jako tady. A pak kdybyste se zaměřili na jeho oči, a lidské oči jsou to, na co se přirozeně díváme, ať se díváme na obličej, nebo na malbu obličeje. Když se podíváte na jeho oči a když tam nakreslíte čáru, která je rovnoběžná, no, která spojuje oči a je rovnoběžná s BD, nazvěme to tedy úsečkou PR, vidíme, že poměr mezi tímto menším trojúhelníkem a tímto větším zahrnuje fí. To je tedy to, co víme, co nám říkají o této malbě a je to docela fascinující. Poměr mezi délkou CD a BC je fí ku 1. Když nakreslíte výšku toho většího trojúhelníku, tento poměr, poměr délky CD ku BC, je fí. Takže Rembrandt na tohle zjevně myslel. Dále víme, že PR je rovnoběžná s BD. Vlastně jsme to tak sestrojili. Takže tohle bude rovnoběžné s tímhle. Další vodítko nám pak říká, že na to Rembrandt skutečně myslel. Poměr AC ku AQ. AC je výška většího trojúhelníku. Poměr AC ku AQ, což je výška tohoto trojúhelníku, je fí plus 1 ku 1, nebo můžete říct fí plus 1. Takže očividně o tom Rembrandt hodně přemýšlel. Když využijeme všech těch informací, trochu si to prozkoumáme. Uvidíme, jestli přijdeme na výraz, který je poměrem obsahu trojúhelníku ABD. Tedy obsahu většího trojúhelníku, ku obsahu trojúhelníku APR, což je tenhle menší trojúhelník. Takže chceme najít poměr mezi obsahem většího trojúhelníku a obsahem menšího trojúhelníku, a zkusme to udělat pomocí fí, pomocí nějakého výrazu, který zahrnuje jen fí nebo konstanty nebo manipulování s fí nějakým způsobem. Zkuste si zastavit video a zkusit to sami. Vezměme to krok za krokem. Jaký je obsah trojúhelníku? Obsah jakéhokoliv trojúhelníku je 1/2 krát základna krát výška. Takže obsah ABD bychom mohli napsat jako 1/2 krát naše základna. Naše základna je délka BD. Takže 1/2 krát délka úsečky BD. A co je naše výška? To je délka úsečky AC. 1/2 krát BD.. možná udělám AC... ... no, udělám to stejnou barvou... krát délka úsečky AC Jaký je tedy obsah... tohle je obsah trojúhelníku ABD... 1/2 základny krát výška. Jaký je tedy obsah APR? To bude 1/2 krát délka naší základny, což je PR, její délka, krát výška, což je úsečka AQ, takže délku AQ bychom mohli zapsat takhle, krát délka úsečky AQ. Takže jak to můžeme trochu zjednodušit? Mohli bychom vydělit 1/2 děleno 1/2. To se zkrátí. Ale co dalšího víme? No, dali nám poměr AC ku AQ. Poměr AC ku AQ je fí plus 1 ku 1. Nebo můžeme jednoduše říct, že se to rovná fí. Tedy vlastně fí plus 1. Takže to přepíšu. Napíšu to vlastně takhle. Tohle se bude rovnat... takže máme délku BD lomeno délkou PR, a tuto část můžeme přepsat, tohle se rovná fí plus 1 lomeno 1. Napíšu to tak. fí plus 1 lomeno 1. Takže jaký je poměr BD ku PR? BD ku PR. Poměr základny většího trojúhelníku ku základně menšího trojúhelníku. Zamysleme se nad tím trochu. Co by vás mohlo napadnout je, že ten větší a menší trojúhelník jsou si navzájem podobné. Očividně mají společný úhel A. A protože PR je rovnoběžná s BD, víme, že tenhle úhel odpovídá tomuto. Takže ty úhly budou shodné. A víme, že tenhle úhel odpovídá tomuto úhlu. Takže teď máme tři odpovídající úhly, které jsou shodné. Toto je shodné samo o sobě v obou trojúhelnících. Toto je shodné s tímto. Toto s tamtím. Máte tři shodné úhly, řešíte dva podobné trojúhelníky. A užitečný u podobných trojúhelníků je poměr mezi odpovídajícími částmi. Délky odpovídajících částí podobných trojúhelníků budou stejné. A jeden z poměrů máme zadaný. Dali nám poměr výšky většího trojúhelníku ku výšce menšího. AC ku AQ je fí plus 1 ku fí. Jelikož je to pravda pro jednu odpovídající část podobných trojúhelníků, je pravda pro jakékoliv odpovídající části podobných trojúhelníků, že poměr bude (fí plus 1) ku 1. Takže poměr BD, základny většího trojúhelníku, ku základně menšího, bude také (fí plus 1) ku 1. Napíšu to takhle. Můžeme to také přepsat jako (fí plus 1) ku 1. Jak to zjednodušit? Máme ((fí plus 1) ku 1) krát ((fí plus 1) ku 1). Můžeme to jen vydělit 1. Neměníte tak hodnotu. Tohle se bude jednoduše rovnat a zasloužíme si teď bubnování, (fí plus 1) na druhou. To bylo vážně parádní. A rád bych, abyste se nad tím zamysleli, protože jsem už viděli, že fí plus 1 se rovná fí na druhou. Existuje spousta takových zvláštních způsobů, jak můžete pokračovat v tomhle bádání.
video