Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků (12/13) · 6:23

Výpočet poloměru Měsíce pomocí zlatého řezu Zlatý řez je zajímavým poměrem, který se nachází na různých místech v umění i přírodě. Zde si ukážeme, jak pomocí něj vypočítat poloměr Měsíce.

Navazuje na Pythagorova věta.
Rozměry Země a Měsíce můžeme dát do takové souvislosti, aby vytvořily zlatý trojúhelník. Zlatý řez, označovaný písmenem fí, je jediným číslem, jehož druhá mocnina je rovna samotnému číslu zvětšenému o jedničku. Na Khanově akademii můžete na téma zlatého řezu najít samostatné video. A pokud se budete se mnou zabývat tímto problémem, dozvíte se ještě víc. Pojďme se pustit do tohoto příkladu. Víme tedy, že fí plus 1 je fí na druhou, což je samo o sobě zajímavé. Tady to máme rozepsané v konkrétních číslech. Fí je přibližně 1,61803 plus 1 se rovná 2,61803, což je zároveň číslo, které dostaneme, když umocníme fí na druhou. Jen jsme to tedy přepsali do jiné formy. V zadání stojí, že pokud na tuto rovnici aplikujeme Pythagorovu větu, popíšeme tím pravoúhlý trojúhelník o stranách fí, odmocnina z fí a 1. Jak tomu máme rozumět? První rovnice vypadá trochu jako Pythagorova věta. První člen je a na druhou, druhý člen je b na druhou. Za rovnítkem máme c na druhou. Když si to teď spojíme s pravoúhlým trojúhelníkem, uvidíme, že přepona musí být fí, kratší odvěsna je odmocnina z 1, tedy 1, a ta delší bude odmocnina z fí. To je vše, co nám ta první věta říká. Zároveň je zde udáno, že poměr poloměru Země a poloměru Měsíce je roven fí. Vidíme to tady na obrázku, zde je poloměr Země... ... vyznačím to barevně... Tady vidíme poloměr Země jako část této strany, zatímco druhá část odpovídá poloměru Měsíce. To znamená, že součet obou poloměrů je roven odmocnině z fí. Tohle nás maličko přinutí zamyslet se nad vesmírem. Což takhle zastavit video a zauvažovat o tom? Původní příklad není až tak důležitý. No, asi bychom ho měli vyřešit, ale toto je takové tajuplné. Ukazuje nám to zajímavost a jakousi všudypřítomnost zlatého řezu. Teď ale zpět k příkladu. Máme zadaný poloměr Země jako 6371 kilometrů. Otázka zní, jaký bude poloměr Měsíce? Pojďme si překreslit tento trojúhelník a strany přepsat na kilometry. Je to sestaven tak, že platí, že strana o délce 1 je jeden poloměr Země. Když tohle platí, platí též, že součet obou poloměrů je roven odmocnině z fí krát poloměr Země. A přepona tohoto trojúhelníku je rovna fí krát poloměr Země. Překresleme si tento trojúhelník, tentokrát už v jednotkách kilometrů. Nakreslím ho co nejvíc podobný tomu původnímu. Je to spíše hrubý náčrt. Tady nakreslím část Země, nemusím jí kreslit celou. Kreslím to jen pro lepší znázornění. A tady je Měsíc, snad je to trochu vidět. V zadání máme, že poloměr Země je 6371 kilometrů, také tam je uvedeno, že výška trojúhelníku je odmocnina z fí krát poloměr Země. Tuto stranu tedy můžu zapsat jako 6371 krát odmocnina z fí kilometrů. To je celá tato strana. Nezapomínejme, co je náš cíl, je jím poloměr Měsíce. Tedy chtějí, abychom vypočítali tuto růžově zvýrazněnou vzdálenost. Označme si ji jako 'r'. Jak to vypočítáme? My vlastně víme, jak dlouhá je ta druhá část, kterou obtáhnu zeleně. Není to nic jiného než poloměr Země. Země má tvar koule, takže můžeme říct, že i tady je poloměr Země, 6371 kilometrů. Teď už to je jednoduché. Tuto stranu můžeme popsat dvěma způsoby. Buď to napíšeme jako součet poloměru Měsíce a poloměru Země v kilometrech. Nebo to můžeme napsat jako 6371 krát odmocnina z fí. Zopakuji, že jsme na to přišli tak, že jsme vynásobili poloměrem Země stranu původního trojúhelníka rovnou odmocnině z fí. Tady to máme v jednotkách poloměru Země a tady to je už v kilometrech. Tohle je poloměr Země. Tolikrát násobíme odmocninu z fí, abychom dostali tuto stranu. Teď už jen zjistit, čemu se rovná 'r'. Můžeme od obou stran rovnice odečíst 6371. Tímto se dostaneme na 'r' se rovná 6371 krát odmocnina z fí minus 6371. Ještě můžeme vytknout 6371 a získáme: 'r' se rovná 6371 krát (odmocnina z fí minus 1). A máme to, je to celkem pěkný příklad.
video