Vlastnosti trojúhelníků
Přihlásit se
Vlastnosti trojúhelníků (4/20) · 10:09

Kružnici definují tři body Důkaz, že tři body definují kružnici. Též je vysvětleno, že střed kružnice je průsečíkem os stran trojúhelníku, kolem něhož je kružnice opsaná.

Víme, že tři body definují trojúhelník. Kdybych vzal tři náhodné body… … budeme jim říkat bod A, bod B, a pak bod C… Když řekneme, že tyto tři body jsou vrcholy trojúhelníku, tak definují jedinečný trojúhelník. Tohle by byl trojúhelník ABC. Také jsme se v posledních několika videích naučili, že trojúhelník ABC má jedinečný střed kružnice opsané, a tím je bod, který je stejně vzdálený od všech tří vrcholů. Stejně vzdálený od všech tří bodů. Můžeme to zjistit tím, že nakreslíme kolmou osu každé strany a místo, kde se tyto kolmé sečny protnou… … ukázali jsme si, že se protnou v jednom bodě… je střed kružnice opsané. Nakreslím to velmi rychle. Řekněme, že toto je osa této strany, toto je osa této strany a toto je osa této strany. Takže tyhle všechny jsou kolmé a všechny půlí stranu, takže bod B bude od tohoto bodu stejně vzdálený jako tento bod od bodu A. Bod A bude od tohoto bodu stejně vzdálený jako tento bod od bodu C. Bod C bude od tohoto bodu stejně vzdálený jako tento bod od bodu B. A o tomto bodu už jsme si říkali. Budeme mu říkat bod O. Také mu říkáme střed kružnice opsané. O je střed kružnice opsané. To bylo jen tak na zopakování. Takže když máme tři body, tak máme jedinečný trojúhelník a ten trojúhelník má jedinečný střed kružnice opsané, který je stejně vzdálený od všech tří bodů daného trojúhelníku. Měl bych říct od všech tří vrcholů daného trojúhelníku. Vzdálenost mezi středem kružnice opsané a těmi třemi vrcholy… Nakreslím to jinou barvou. Tato vzdálenost, délka úsečky OA, délka úsečky OC a délka úsečky OB. OA se rovná OC a to se rovná OB, což je poloměr kružnice opsané. A když jsme poprvé mluvili o kružnicích, tak jsme se naučili, že když mi dáte bod a najdeme množinu všech bodů, které jsou od toho bodu stejně vzdálené, tak je to kružnice. A když řeknu množinu, myslím skupinu všech bodů… Když mi tady dáte jakýkoliv bod… … tohle je libovolný bod… … určíte poloměr a zeptáte se mě, jaká je množina všech bodů, které jsou na tomto dvourozměrném prostoru stejně vzdálené od… … ve vzdálenosti poloměru od toho středu, tak definují kružnici. Tak definujeme kružnici. A podobně tomu tak bude, i když začnete od středu O a řeknete, že všechny body, které jsou ve vzdálenosti poloměru od bodu O, tak budou definovat kružnici a ta kružnice bude obsahovat body A, B a C, protože jsou ve vzdálenosti poloměru od bodu O, takže patří do té množiny. Ta kružnice by vypadala nějak takto. Snažím se ji nakreslit co nejlíp. Všechno, o čem jsme právě teď posledních pár minut mluvili, je jen opakování. Všechno z toho už známe, ale připomenul jsem to, abych uvedl docela zajímavou myšlenku, že když mi dáte tři body, tak definují jedinečný trojúhelník, a když máte jedinečný trojúhelník… … ujasním to… Tyhle tři body neleží na stejné přímce. Když máte tři body, které neleží na stejné přímce, tak definují jedinečný trojúhelník. Každý jedinečný trojúhelník má jedinečný střed kružnice opsané a poloměr kružnice opsané. A když mi dáte jakýkoliv bod v prostoru, jakýkoliv jedinečný bod, a poloměr, množina všech bodů, které jsou od něj ve vzdálenosti poloměru, ta definuje jedinečnou kružnici. Tím vším povídáním o jedinečném trojúhelníku s jedinečným středem a poloměrem kružnice opsané jsme si prošli, abych vám ukázal, že když mi dáte jakékoliv tři body, tak nakonec opravdu definují jedinečnou kružnici. Stejně jako potřebujete tři body na definování trojúhelníku, tak také potřebujete tři body na definování kružnice. Dva body nebudou stačit. A jiný způsob, jak se nad tím zamyslet, je, že když mi dáte dva body, existuje nekonečně mnoho trojúhelníků, které mohu s těmito body sestrojit, neboť mohu třetí bod umístit kamkoliv, můžu sestrojit tento trohúhelník. Mohl bych sestrojit takový, mohl bych sestrojit takový, mohl bych sestrojit takový. Všechy ty trojúhelníky budou mít různé sředy kružnic, rozdílné poloměry, a tudíž i kružnice jim opsané budou různé. Například tohle by byla jedna kružnice, která by opsala tento trojúhelník. Mohly byste mít tuto kružnici, takže jasně vidíte, že dva body nestačí. Potřebujete tři body. Tři body vedou k trojúhelníku, který vede k jedinečné kružnici, což je samo o sobě dost hustý. Další otázkou je, jestli když mám jen kružnici, a když je opsaná libovolnému trojúhelníku, tak jestli střed té kružnice musí být nutně v průsečíku os stran. Zamysleme se nad tím trochu, protože tu máme případy, na které jen tak intuitivně nepřijdete. Když sem nakreslím kružnici, sem její střed a nakreslím libovolný trojúhelník, jehož všechy vrcholy leží na oné kružnici, je střed kružnice nutně v průsečíku os stran toho trojúhelníku? Nakreslím bláznivou situaci. Nakreslím případ, kdy je střed kružnice evidentně mimo trojúhelník. Mohli bychom mít jeden, který vypadá takto a všechny tři vrcholy evidentně leží na kružnici. Můžete říct: „Počkej, nelze, aby tohle byl střed kružnice opsané, vždyť ani není uvnitř“ Ale pamatujte si, že tento bod je stejně vzdálený od každého bodu kružnice. Měl bych říct, každý bod na kružnici je od tohoto bodu stejně vzdálený. Všechny jsou ve vzdálenosti poloměru. A všechny tři vrcholy trojúhelníku leží na té kružnici, takže jsou přesně ve vzdálenosti poloměru od tohoto bodu. Tahle vzdálenost bude poloměr, tahle vzdálenost bude poloměr a tahle vzdálenost bude poloměr. Tehle bod je evidentně stejně vzdálený od tohoto bodu a od tohoto bodu. To víme. Přesně ve vzdálenosti poloměru od obou těchto vrcholů trojúhelníku. Je-li stejně vzdálený, což jsme dokázali v minulém videu, Je-li stejně vzdálený od obou těchto bodů, tak musí ležet na ose úsečky, jež tyto dva body spojuje. Takže tenhle bod musí ležet na ose. Je to kolmá přímka a půlí tuhle úsečku. Ale stejný argument bychom mohli udělat i pro tuto úsečku, protože tenhle bod je ve vzdálenosti poloměru od středu. Říkejme mu 'O'… Jsem unavený z toho, že mu stále říkám „ten bod“. Bod O je stejně vzdálený od… Označím si je, budeme jim říkat A, B, C. Takže jsme již řekli, že bod O je stejně vzdálený od bodu C a B, takže musí ležet na ose úsečky BC, a je také stejně vzdálený od bodu A a B. Je ve vzdálenosti poloměru od obou, protože A i B leží na kružnici. Oba jsou ve vzdálenosti poloměru od středu, takže tenhle bod musí ležet na ose úsečky AB. … také musí ležet na kolmé… … to nevypadá… Nakreslím to trochu úhledněji. Takže musí také ležet na této ose. A konečně je také stejně vzdálený od bodu A jako je od bodu C, protože jsou oba ve vzdálenosti poloměru a oba leží na kružnici, takže musí ležet na ose úsečky AC. AC je přímo tady. A tohle je ta zajímavost. Vidíme, že se osy všech tří stran trojúhelníku rozhodně protínají, ale protínají se v bodě mimo trojúhelník. A ten bod je středem této kružnice. Takže znovu. Poslední myšlenka je, že bod O je stejně daleko od A jako od C, takže musí ležet na ose úsečky AC, která by vypadala asi takto. Takže znovu. Vidíme, že se ty tři osy protínají v jedinečném bodě O, což je opravdu střed kružnice opsané. Takže když vezmete jakoukoliv kružnici a sestrojíte trojúhelník, jehož vrcholy leží na oné kružnici, tak střed té kružnice je v průsečíku os stran trojúhelníku. My jsme nakreslili případ, kde je střed kružnice opsané mimo trojúhelník. Takže bod O bude středem kružnice opsané tomuto trojúhelníku a zároveň bude také středem kružnice opsané tomuto trojúhelníku. Bude ležet na všech třech osách, to víme, protože je stejně vzdálený od všech tří vrcholů libovolného z těchto trojúhelníku, jejichž vrcholy leží na samotné kružnici.
video