Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (13/16) · 6:45

Intuitivní nakreslení primitivní funkce Pojďme navázat na předchozí video, ale tentokrát jít opačným směrem. Máme zakreslený graf derivace a naším úkolem je odhadnout graf původní funkce, takzvané primitivní funkce.

Navazuje na Limity II.
V předchozím videu jsme měli funkci a snažili jsme se nakreslit její derivaci. V tomto videu máme zadanou funkci a pokusíme se k ní nakreslit primitivní funkci. Zní to honosně, ale ve skutečnosti to znamená: Pro primitivní funkci k dané funkci platí, že její derivace je ta původní funkce. Například, mějme funkci f(x) a řekněme, že její primitivní funkcí je F(x). To je konvenční značení primitivní funkce. To znamená, že derivace F(x) je rovna f(x). O co se budeme snažit zde je, že pro funkci f(x) budeme hledat funkci, která by po zderivování dala f(x). Toto prozkoumáte mnohem hlouběji v integrálním počtu matematické analýzy. Je zde ve skutečnosti více možných funkcí, které po zderivování dají tu samou f(x). Naším cílem je nakreslit nějakou hezkou možnost. Zamysleme se nad tím. Zde nahoru budeme kreslit y je rovno F(x). Snažíme se nakreslit takovou funkci, jež po derivování vypadá takto. V podstatě děláme to, že vezmeme, co je nahoře, a derivujeme to. Zamysleme se nad tím, jak taková funkce může vypadat. Podíváme-li se na derivaci… Na tomto intervalu… Udělám to fialově. Na tomto intervalu od 0 až po tento bod je sklon roven kladné konstantě 1. Nakreslím tedy přímku s kladným konstantním sklonem 1. Mohl bych tu přímku posouvat nahoru či dolů, je zde mnoho možností. Vyberu si nějakou rozumnou možnost. Mohu mít například takovou přímku. Snažím se to nakreslit nejlépe, jak to dovedu. Řekněme, že to může vypadat nějak takto. Funkci bych tu mohl nechat definovanou či nikoliv. Derivace není v tomto bodě definována. Mohu se rozhodnout, jak chci. Toto by mohl být bod nespojitosti původní funkce. Nemusel by být, kreslím jednu z možností. Řekněme, že to bude v tomto bodě definované. Jelikož to bude nespojité, derivace nebude v tomto bodě definována. To je první interval. Pojďme na další. Druhý interval, od bodu, kde končil první, až sem. Derivace je konstantně -2. To znamená, že zde budu mít klesající přímku se sklonem -2. Bude dvakrát strmější, než byla ta první. Nakreslím ji. Mohu tu funkci udělat spojitou. Mohu udělat sklon -2 takto. Zdá se, že je tento interval dvakrát kratší, než byl ten první. Dostane se tedy do stejného bodu. Mohlo by to vypadat nějak takto. Sklon zde je roven 1, to vidíme z průběhu derivace. Sklon zde je roven -2, to rovněž vidíme z průběhu derivace. Teď se začnou dít věci! Opět mohu tuto modrou přímku libovolně posunout svisle. Nemusím sestrojit spojitou funkci, ale dělám to tak pro zábavu. Existuje více primitivních funkcí. Co se tedy bude dít na třetím intervalu? Udělám to oranžově. Sklon začíná na vysoké hodnotě, začíná na +2. Pak klesá a zde se dostane na 0. Zde je sklon roven 0. A pak je více a více záporný. Zkusím pro zábavu sestrojit spojitou funkci. Opět připomínám, nemusí být. Zde je sklon velké kladné číslo. Je to +2. Bude to tedy… Toto je -2, takže toto bude +2. Pak je to zápornější až sem… Měl bych raději říct, že je to méně kladné. I zde je sklon stále kladný. Zde se dostane do 0. Asi někde zde. Co jsme dostali? Je to parabola. Parabola otevřená směrem dolů. Všimněte si, sklon je kladné číslo. Je to zde +2, pak je to méně kladné číslo, až se dostane do 0. Pak je sklon záporný. Naše funkce by tedy na tomto intervalu mohla vypadat takto. Nakreslím to lépe. Toto je symetrické. Tak jak to zde bylo kladné, tady to musí být stejně záporné. Naše křivka by tedy měla být také symetrická. Nakreslím to tedy takto. Mohlo by to vypadat takto. Nakonec tento poslední interval. Mohl bych říct, že funkce má nulový sklon. Opět říkám, nemusím sestrojit spojitou funkci. Je-li však sklon nulový, dostanu vodorovnou přímku. Mohl bych ji nakreslit zde, ale měl bych nespojitou funkci. Nebo bych ji mohl nakreslit zde a pokusit se o spojitou primitivní funkci. Každý z těchto úseků bych mohl libovolně posunout a dostal bych tu samou derivaci. Neměl bych však takto krásnou spojitou funkci. Sestrojili jsme tedy jednu z možných primitivních funkcí. Pro připomenutí, primitivní funkce k dané funkci je taková funkce, jejíž derivací je původní daná funkce.
video