Vyšetřování průběhu funkce
Vyšetřování průběhu funkce (1/15) · 3:08

Hledání bodů lokálního minima a maxima Již z bloku Funkce I víme, co to maxima a minima jsou. Pojďme si to vyzkoušet určit na záludné nespojité funkci.

Navazuje na Derivace funkce II.
Chtěli bychom zkoumat to, pro které hodnoty ‚x‛, nabývá oranžová funkce... Toto je graf funkce ‚y‛ rovná se f(x) Máme na výběr několik bodů na ose ‚x‛ a chtěli bychom vědět, pro které z těchto bodů, nabývá funkce f(x) své lokální maximum nebo lokální minimum. Povzbudím vás, abyste zastavili video a popřemýšleli, ve kterých z těchto bodů funkce dosáhne svého lokálního maxima nebo lokálního minima. Nejprve se podíváme na případ, že se ‚x‛ rovná ‚a‛. Zde máme f(a). A velice jednoduše můžeme vytvořit otevřené okolí okolo bodu ‚a‛ takové, že pokud f(x) budeme volit z tohoto okolí, bude f(x) menší nebo rovno f(a). Hodnoty f(x) z tohoto intervalu mají určitě menší hodnoty než f(a). Tady můžete i přímo vidět, že to je typický příklad lokálního maxima. Podívejme se sem. Kdyby funkce f(x) byla v tomto bodě spojitá, bylo by zde od pohledu lokální minimum. Tento bod je ale velmi zajímavý. Funkce v něm má skok nahoru. Přímo tady nahoře. Toto je funkční hodnota v bodě ‚b‛, čili f(b). Toto je trochu neintuitivní, ale skutečně můžeme vytvořit otevřené okolí bodu ‚b‛. Vytvoříme okolí bodu ‚b‛ takové, že hodnoty f(x), pro ‚x‛ z tohoto okolí, jsou menší nebo rovny f(b). Hodnota f(b), je také hodnota lokálního maxima. Pojďme se podívat na bod ‚c‛. Kdyby to bylo minimum stejného typu jako ‚e‛, byl by to příklad typického lokálního minima. Ale v bodě ‚c‛ není. Podívejte se na tuto nespojitost. Co se tu děje? Můžeme vytvořit otevřené okolí bodu ‚c‛ takové, že f(c)... Toto je f(c). Kde je f(c) menší nebo rovno f(x), pro ‚x‛ z otevřeného okolí bodu ‚c‛. Podívejte, v tomto otevřeném okolí na našem obrázku jsou funkční hodnoty f(x) tady nahoře a tady dole. Vypadá to, že funkční hodnoty f(x) jsou vždy větší nebo rovny f(c). Tento bod splňuje definici lokálního minima. Takže toto je skutečně lokální minimum. Teď se dostáváme k bodu ‚d‛. A skutečně, ze stejného důvodu, jako u bodu 'b', funkce v bodě 'd' nabývá dalšího lokálního maxima. A nakonec bod ‚e‛. Když je x rovno e, funkce nabývá takové hodnoty, která může být považována za ukázkový příklad lokálního minima. Můžeme jednoduše vytvořit okolí takové, že když vybereme jakékoliv ‚x‛ z tohoto intervalu, f(x) bude větší nebo rovno fukční hodnotě ‚e‛. Takže toto je také lokální minimum.
video