Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (2/23) · 6:37

Vlastnosti derivací Odvodíme si základní vlastnosti derivací. Konkrétně derivování funkce vynásobené konstantou, derivování součtu dvou funkcí a derivování rozdílu dvou funkcí.

Navazuje na Derivace funkce.
V minulém videu jsme uvedli tu vlastnost derivace, že pokud je nějaká funkce konstantní, potom její derivace bude rovna nule v jakémkoli 'x'. Ukázali jsme to přímo v grafu. Také jsme použili definici limity, aby to bylo jasné. Teď uvedeme další podobné vlastnosti a budou to základní vlastnosti, které budete používat a kombinovat, kdykoli budete derivovat. Takže je dobré je znát a cítit, že jsou přirozené. Druhá vlastnost je tato: Pokud je funkce proměnné x rovna nějaké konstantě krát jiné funkci g(x), potom derivace funkce f(x) se bude rovnat té konstantě krát... ... tedy... ... té konstantě krát derivace funkce g(x). Opět si ukážeme, jaký bude grafický argument, proč tomu tak je. Ta konstanta nám vlastně násobí sklon (směrnici), což je jeden způsob, jak to pojmout. Snadnější ale je ukázat to algebraicky, pouze s použitím definice derivace. Použiji tu pravou, protože vypadá obecněji, přestože můžete říct, že to platí pro 'a' a 'a' může být jakékoli 'x'. Použiji zkrátka tu pravou definici. Takže, pokud hledáme derivaci f(x) s použitím téhle definice, víme, že... ... že derivace f(x) bude limita pro 'h' se blíží k nule... (Používám tamtu definici.) Funkce f v bodě (x plus h) minus funkce f v bodě (x), to celé děleno 'h'. Takže, co to je funkce f v bodě (x plus h)? To je limita pro 'h' se blíží k nule. Funkce f v bodě (x plus h) je 'k' krát 'g' v bodě (x plus h) minus f(x). To je 'k' krát g(x), ještě to celé lomeno 'h'. Teď můžeme vytknout 'k'. To se bude rovnat limitě pro 'h' se blíží k nule 'k' krát 'g' (x plus h) minus g(x), to celé děleno 'h'. Pouze jsem vytkl konstantu 'k'. Z vlastností limit víme, že se to rovná 'k' krát limita pro 'h' se blíží k nule funkce g (x plus h) minus g(x), to celé děleno 'h'. Samozřejmě celý tenhle člen je z definice derivace funkce g(x). Takže se to rovná 'k' krát derivace funkce g(x). Možná si myslíte, že to vypadalo, že to bude pravda, tak jsem to jen předpokládal. Ale nemůžete si to jenom "myslet". Někdy můžete říci, když se něco učíte, to vypadá rozumně, tak by to mohlo být... Ale v matematice musíme vždy "vědět", že je to pravda, jinak uděláme hodně závěrů založených na nejistých základech. Tohle nám dokázalo, že toto je možné takto upravit. Takže je dobré to takto odvodit, i když se to zdá zbytečně složité. Nyní se podívejme na třetí vlastnost. Jde o to, že pokud mám nějakou funkci, která je součtem nebo rozdílem nějakých dvou jiných funkcí... Takže je součtem funkce g(x) a třeba... 'h' používám hodně, tak třeba... Nevím, třeba funkce j(x). Moc funkcí j(x) nevídáme, proč by to nemohlo být j(x)? Takže derivace funkce f se bude rovnat derivace funkce g(x) plus derivace funkce j(x). To bude platit, když tady bude plus. Kdyby tu bylo minus, platí to také, ale tady by bylo odčítání. Pokud by to byl tedy rozdíl dvou funkcí, potom by derivace f(x) byla rovna rozdílům derivací těch dvou funkcí. Opět to můžeme ukázat z definice derivace. Derivace funkce f(x) se rovná limitě pro 'h' se blíží k nule funkce f v bodě (x plus h). Ale co je teď f (x plus h)? To je přece g (x plus h) plus j (x plus h). To je tedy f (x plus h) minus f(x). A f(x) se rovná g(x) plus j(x). Všimněte si, tohle je f v bodě (x plus h) minus f v bodě (x), a celé to dělíme 'h'. Takže, vydělíme 'h'. Dobrá, čemu se to rovná? Stačí jen přeuspořádat to, co je v čitateli. Toto se rovná limitě pro 'h' se blíží k nule. Výrazy související s funkcí g dám dopředu, takže mám g (x plus h) minus g(x) plus j (x plus h) minus j(x). Celé to můžu přepsat takto: to celé děleno 'h'. Nebo to je totéž jako toto děleno 'h' plus toto děleno 'h'. A ještě jednou vyjdeme z vlastností limit. Víme totiž, že je to totéž jako limita pro 'h' se blíží k nule z výrazu g (x plus h) minus g(x), to celé děleno 'h', plus limita pro 'h' se blíží k nule z výrazu j (x plus h) minus j(x), celé děleno 'h'. No a toto je definice derivace g(x). A toto to je definice derivace j(x). A jsme hotovi. Pokud by tu bylo odečítání místo sčítání, tak by to minus zůstalo v tom výrazu, takže bychom místo sčítání tady měli odčítání. Snad vás toto trochu seznámilo s těmito vlastnostmi. Samotné tyto vlastnosti jsou celkem zřejmé, asi byste je uhodli, ale je dobré použít definici derivace, aby se skutečně ukázalo, že to jsou správné závěry.
video