Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (8/23) · 3:44

Derivace goniometrických funkcí, exponenciály a přirozeného logaritmu Derivace mocninných funkcí jsme zvládli. Jak to bude vypadat u goniometrických funkcí, exponenciály, či přirozeného logaritmu si teď ukážeme.

Navazuje na Derivace funkce.
Podívejme se na derivace některých běžných funkcí. Nebudeme je teď dokazovat, ale aspoň ať víme, jaké ty derivace jsou. Začneme s trigonometrickými funkcemi. Pokud chci zderivovat sinus x podle x, tak to bude rovno kosinu x. Intuitivně to jde vidět na jejich grafech. Sice to teď nebudeme dokazovat, ale je to dobré vědět, že derivace sinu je kosinus x. A jak je to s derivací kosinu x? Jak je to s derivací kosinu x podle x? Ta bude rovna minus sinus x. Takže derivace sinu je kosinus a derivace kosinu je minus sinus. A nakonec, derivace tangens x je rovna 1 děleno kosinus na druhou z x což je tzv. sekans na druhou z x. Tyhle derivace je velmi dobré znát. Teď si řekneme trochu o exponciálních funkcích a logaritmech. Takže derivace... a tohle je jeden z nejúžasnějších výsledků, který ukazuje, jak "e" je skvělé číslo. Takže derivace e na x podle x, teď bychom potřebovali tlukot bubnů, tohle je jedna z nejúžasnějších věcí v matematice. Derivace z e na x podle x je e na x. Co nám to říká? Chci se u toho na chvíli zastavit, protože je to opravdu úžasné. Takže nakresleme si graf e na x. Tohle je y-ová osa. Řekněme, že tohle je x-ová osa. Takže když mám záporné x, tak e na velké záporné číslo se bude blížit k 0. A e na 0 je 1, takže tady bude 1. Takže to bude vypadat nějak takto. A pak je to exponenciální, takže to začne růst velmi velmi, velmi, velmi, velmi rychle. Řekněme, že tohle je graf y rovno e na x. Co nám to říká, že každý bod, třeba tento bod, když x je rovno 0, e na 0 je 1, jaká je směrnice tečny v tomto bodě? Ta je taky 1! Neskutečné. Pokud se podíváme na x rovno 1, tak funkční hodnota je e na 1, což je prostě e. A jaká je směrnice tečny v tomto bodě? Taky e. V libovolném bodě je směrnice tečny rovna hodnotě funkce v tomto bodě. To je úžasné. To je to, co je na "e" tak skvělé. To ale není pointa tohoto videa. Cílem je dát vám přehled derivací, které se vám můžou hodit. Takže nakonec, když se podíváme na derivaci přirozeného logartimu z x, tak ten bude roven... a tohle je také fascinující, ten je roven 1 děleno x, neboli x na -1. Takže náš přirozený logaritmus, když se podíváme na jeho derivaci, tak nějak vyplňuje mezeru, kterou vytváří pravidlo mocniny, protože je nějaká jiná funkce, jejíž derivace by bylo x na -1? Pravidlo mocniny nám dává funkce, jejíž derivace můžou být x na -2, x na -3, nebo x na 2, x na 5. Ale nechává místo pro x na -1 volné a to místo je vyplněné logaritmem z x. Teď jsme to nedokázali, pouze jsem vám ukázal přehled, abychom je mohli v dalších videích využít a později je pak dokážeme.
video