Pythagorova věta
Pythagorova věta (8/14) · 6:59

Důkaz: poměry stran v trojúhelníku s úhly 30°, 60° a 90° Jak vypadá pravoúhlý trojúhelník s vnitřními úhly 30°, 60° a 90°?

Navazuje na Obvod a obsah.
V tomto videu chci s vámi probrat speciální druh trojúhleníků zvaný '30-60-90 trojúhelník'. A myslím, že víte, proč se jim tak říká. Velikosti jejich úhlů jsou 30 stupňů, 60 stupňů a 90 stupňů. A v tomto videu dokážeme, a to bude velmi důležitý výsledek, alespoň pro to, co uvidíte v geometrii a později ve trigonometrii. Důležitý je poměr stran v 30-60-90 trojúhelníku. Když má přepona délku x... Zapamatujte si, že přepona je naproti pravému úhlu. Když má přepona délku x, co uděláme, abychom dokázali, že kratší strana, která je naproti úhlu 30 stupňů, je dlouhá x/2, a že strana, která je naproti úhlu 60 stupňů, řekl bych, bude (druhá odmocnina z 3) krát ta kratší strana, takže (druhá odmocnina z 3) krát x/2, to bude její délka. Takže to v tomto videu dokážeme a v dalších vidích to přeneseme do praxe. Ukážeme si, že je to ve skutečnosti užitečný výsledek. Teď pojďme začít s trojúhelníkem, který už známe. Takže si nakreslíme rovnostranný trojúhelník. Kreslení trojúhelníku je vždy ta složitá část. Tohle je můj nejlepší pokus o nakreslení rovnostranného trojúhelníku. Vrcholy nazveme A, B, C. Budu předpokládat, že jsem zkonstruoval rovnostranný trojúhelník. Takže trojúhelník ABC je rovnostranný. A když je rovnostranný, tak to znamená, že všechny jeho strany jsou stejné, a řekněme, že jsou dlouhé x. Takže tohle bude x, tohle bude x a tohle bude x. Také víme z toho, co už o rovnostranných trojúhelnících víme, že velikosti všech úhlů budou 60 stupňů. Takže tohle bude 60 stupňů, tohle bude 60 stupňů a tohle bude 60 stupňů. A teď z tohoto vrcholu spustím výšku sem. Takže spustím výšku sem a podle definice konstrukce výšky, tohle bude protínat základnu přímo tady, pod pravým úhlem. Takže tohle bude pravý úhel a pak tohle bude pravý úhel. A to je docela jasný důkaz, že tohle není jenom výška, ale i kolmice k základně. Ale je to i docela jasný důkaz, že výška základnu půlí. Můžete si stopnout video, jestli chcete, a dokázat si to sami. Ale opravdu to vychází z faktu, že je snadné dokázat, že tyto dva trojúhelníky jsou shodné. Takže vám to dokážu. Pojďme tomuhle říkat bod D. Takže trojúhelníky ABD a BDC zřejmě sdílí tuto stranu, takže tahle strana je společná pro oba dva. A pak tento úhel tady je shodný s tímto úhlem tady. Tento úhel tady je shodný s tímto úhlem. A když jsou tyhle dva úhly shodné, tak ty třetí úhly musí být také shodné. Takže tento úhel musí být shodný s tímto úhlem. Takže tyhle dva jsou shodné. A tak můžete vlastně použít různé věty o shodnosti; můžeme říct, že jsou shodné podle věty SUS (strana, úhel, strana), nebo můžeme použít větu USU (úhel, strana, úhel), jakoukoliv z nich, abychom ukázali, že trojúhelník ABD je shodný s trojúhelníkem CBD. V čem nám to pomůže? Můžeme použít, jak už jsem již řekl, větu USU nebo SUS, jakoukoliv chceme použít. Pomůže nám to v tom, že nám to řekne, že odpovídající strany těchto trojúhelníku budou shodné. Konkrétně délka strany AD se bude rovnat délce strany CD. To jsou odpovídající strany. Takže ty se budou rovnat. A když víme, že se budou rovnat, a když vezmeme v potaz x... Vzpomeňte si, že tohle byl rovnostranný trojúhelník o straně délky x. ...tak víme, že tahle strana bude x/2. Víme, že tohle bude x/2. Nejen že víme tohle, ale taky víme, že když jsme spustili výšku, tak jsme si ukázali, že tento úhel musí být shodný s tímto úhlem a jejich velikosti se musí rovnat 60. Když jsou dvě věci shodné a rovnají se 60, tak tohle bude 30 stupňů a tohle bude 30 stupňů. Takže jsme si již ukázali jednu zajímavost o 30-60-90 trojúhelníku. Že když přepona... všimněte si a hádám, že jsem to nezdůraznil, že když jsem spustil výšku, tak jsem v podstatě přepůlil tento rovnostranný trojúhelník na dva 30-60-90 trojúhelníky. 30-60-90 trojúhelníky. Takže jsme si již ukázali, že když strana naproti pravému úhlu je strana x, tak strana naproti úhlu 30 stupňů bude x/2. To jsme si ukázali tady. Teď jen musíme přijít na třetí stranu, stranu, která je naproti úhlu 60 stupňů. Strana, která je naproti úhlu 60 stupňů, je přímo tady. A budeme tomu říkat strana... Prostě použiju písmenka, která už máme. ...tohle je BD. Nyní tady můžeme použít Pythagorovu větu. BD na druhou plus tahle strana na druhou, takže plus x/2 na druhou, se bude rovnat přeponě na druhou. Takže dostaneme BD na druhou plus x/2 na druhou, tohle je přesně podle Pythagorovy věty, se bude rovnat přeponě na druhou. Takže se to bude rovnat x na druhou. A abychom si to vyjasnili, koukám na tenhle trojúhelník. Koukám na tenhle trojúhelník vpravo a používám Pythagorovu větu. Tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou se bude rovnat přeponě na druhou. Takže jaká bude BD? Dostaneme, že BD na druhou plus (x^2/4) se rovná x^2. Mohli byste se na to dívat jako na 4x^2/4, to je zjevně to samé jako x^2. A když pak odečteme (1/4)x^2 od obou stran nebo x^2/4 od obou stran, tak dostanete že BD na druhou se rovná 4x^2 mínus x^2/4, a to bude 3x^2/4. Takže to bude 3x^2/4. Když pak obě strany odmocníme, tak dostanete, že BD se rovná odmocnině ze 3 krát x... Odmocnina ze 3 je odmocnina ze 3, Odmocnina z x^2 je prostě x. Lomeno odmocnina ze 4 a to je 2. BD je naproti straně s úhlem 60 stupňů, takže máme hotovo. Když je přepona x, tak strana naproti úhlu 30 bude x/2 a strana naproti úhlu 60 stupňů bude (druhá odmocnina z 3)/2 krát x nebo (druhá odmocnina z 3) krát x/2, v závislosti na tom, jak se na to chcete dívat.
video