Pythagorova věta
Přihlásit se
Pythagorova věta (9/14) · 5:42

Poměry stran v pravoúhlém rovnostranném trojúhelníku Dokážeme si, že poměry stran v trojúhelníku s úhly 45°, 45° a 90° jsou 1:1:odmocnina ze 2.

Navazuje na Obvod a obsah.
V předchozím videu jsme si ukázali, že poměry stran v 30-60-90 trojúhelníku jsou, za předpokladu, že nejdelší strana je x, pak nejkratší strana je x/2, a ta strana mezi nimi, strana na proti úhlu 60 stupňů, je ((odmocnina ze 3) krát x)/2. Další způsob, jak o tom přemýšlet, je, že nejkratší strana je 1... Nejdřív napíšu nejkratší stranu, pak prostřední a pak nejdelší. Takže když je strana naproti úhlu 30 stupňů 1, tak strana naproti úhlu 60 stupňů bude ta strana krát odmocnina ze 3. Takže to bude odmocnina ze 3. A pak předpona bude dvakrát taková. V předchozím videu jsme začali s x a řekli jsme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je x/2, ale když je strana naproti úhlu 30 stupňů 1, tak to bude 2krát tolik, takže to bude 2. Tohle je strana naproti úhlu 30 stupňů, tohle je strana naproti 60 stupňům a tohle je přepona, naproti úhlu 90 stupňů. Obecně když vidíte trojúhelník, který má tyto poměry, tak řeknete: "Hele, to je 30-60-90 trojúhelník." Nebo když uvidíte trojúhelník, o kterém víte, že je má poměry 30-60-90, můžete říct: "Hele, umím přijít na jednu z jeho stran podle tohoto poměru." A dám příklad. Když vidíte trojúhelník, který vypadá takto, kde strany jsou 2, 2 krát odmocnina ze 3, a 4... Znovu, poměr stran 2 ku 2 krát odmocnina ze 3 je to samé jako 1 ku odmocnina ze 3. Poměr 2 ku 4 je to samé jako 1 ku 2, takže tohle musí být 30-60-90 trojúhelník. Co vám chci ukázat v tomto videu, je další důležitý typ trojúhelníku, který uvidíte často v geometrii a trigonometrii. A to je 45-45-90 trojúhelník. Nebo další způsob, jak nad tím přemýšlet, je, že když mám pravoúhlý trojúhelník, který je také rovnoramenný... Pravoúhlý a rovnoramenný. Zjevně nemůžete mít pravoúhlý trojúhelník, který je rovnostranný, protože v rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly 60 stupňů. Ale můžete mít pravoúhlý trojúhelník, který je zároveň rovnoramenný. Rovnoramenný trojúhelník. Napíšu to. To je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník. A když je rovnoramenný, tak to znamená, že 2 jeho strany jsou stejné. Takže tyto 2 strany jsou stejné. A když jsou tyto 2 strany stejné, tak jsme si dokázali, že tyto 2 úhly při základně jsou také stejné. Když bychom řekli, že velikost úhlů při základně je x, tak nyní víme, že x plus x plus 90 se musí rovnat 180. x plus x plus 90 se musí rovnat 180. Nebo když od obou stran odečteme 90, tak dostaneme, že x plus x se rovná 90. Nebo 2x se rovná 90. Nebo když obě strany vydělíte 2, tak dostanete, že x se rovná 45 stupňů. Takže pravoúhlému rovnoramennému trojúhelníku se také může říkat, a je to častěji používané označení, také se mu říká 45-45-90 trojúhelník. A v tomto videu chci zjistit poměry stran 45-45-90 trojúhelníku, jako jsme to udělali u 30-60-90 trojúhelníku. A tenhle je vlastně jasnější. Protože když v 45-45-90 trojúhelníku nazveme jednu z odvěsen x, tak ta druhá bude také x, a pak můžeme použít Pythagorovu větu, abychom přišli na délku přepony. Takže délka přepony, budeme jí říkat C. Dostaneme x na druhou plus x na druhou, to jsou druhé mocniny obou odvěsen, takže když to spočítáme, tak se to bude rovnat C na druhou. To je přesně podle Pythagorovy věty. Takže dostaneme 2x na druhou se rovná C na druhou. Potom můžeme obě strany odmocnit. Chci změnit barvu na žlutou a ono mě to nechce poslechnout. Dobře. Zpět k C na druhou. Takže odmocníme obě strany. Z levé strany dostanete odmocnina ze 2 je prostě odmocnina ze 2. Odmocnina z x na druhou bude x. Takže budete mít x krát odmocnina ze 2 se rovná C. Takže když máte pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, je jedno, jaká jsou ta 2 ramena, budou obě stejná, proto je rovnoramenný. Přepona bude odmocnina z 2 krát to. Takže C se rovná x krát odmocnina ze 2. Takže na příklad, když máte trojúhelník, který vypadá takto... Nakreslím ho trochu jinak. Je dobré, když se pokaždé musíme orientovat v různých způsobech. ...takže když vidíme trojúhelník, který má 90 stupňů, 45 a 45 jako tento. A opravdu musíte znát jen 2 z těchto úhlů, abyste přišli na to, jak velký bude ten poslední. A kdybych vám řekl, že tahle strana je 3, tak ani nemusím říkat, že ta druhá strana bude taky 3. Toto je rovnoramenný trojúhelník, takže tyto dvě odvěsny budou stejné. A nebudete muset použít Pythagorovu větu, až budete znát toto. Je dobré vědět, že přepona, strana naproti úhlu 90 stupňů, bude odmocnina ze 2 krát délka jedné z těchto dvou stran. Takže to bude 3 krát odmocnina ze 2. Takže poměr stran a přepony v 45-45-90 trojúhelníku nebo v pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku... Poměr stran je: jedna z odvěsen může být 1, druhá odvěsna bude mít stejnou délku a přepona bude odmocnina ze 2 krát délka jedné z těchto stran. 1 ku 1 ku odmocnina ze 2. Takže tohle je 45-45-90. Napíšu to sem. 45-45-90. Tohle je ten poměr. A jenom na zopakování, když máte 30-60-90 trojúhelník, tak poměr stran je 1 ku odmocnina ze 3 ku 2. A teď to převedeme do praxe v několika úlohách.
video