Pythagorova věta
Přihlásit se
Pythagorova věta (10/14) · 6:40

Slovní úloha na trojúhelník s vnitřními úhly 30°, 60° a 90° Použijeme znalosti o pravoúhlých trojúhelnících k vyřešení zdánlivě těžké slovní úlohy.

Navazuje na Obvod a obsah.
Máme tady obdélník. Délka strany AB je 1. To je označené tady, AB je 1. A říkají nám, že BE a BD přetínají úhel ABC. Takže BE a BD přetínají úhel ABC. To znamená, že ten úhel dělí na 3 stejné menší úhly. Což znamená, že tenhle úhel je stejný jako tenhle úhel a jako tento úhel. Máme přijít na to, jaký je obvod trojúhelníku BED. Takže to je vlastně tady ten prostřední trojúhelník. Zpočátku se to jeví jako docela těžká úloha, protože nevíte, jaká je šířka tohoto obdélníku. Jak s tím mám začít, když mi zadali jenom jednu stranu. Ve skutečnosti nám zadali spoustu informací, protože víme, že tohle je obdélník. Máme čtyři strany a čtyři úhly. Strany jsou rovnoběžné a úhly jsou všechny 90 stupňů, což je víc než dost informací na to, abychom věděli, že tohle je opravdu obdélník. Jedna věc, kterou víme, je, že protilehlé strany obdélníku jsou stejně dlouhé. Tahle strana je 1, takže tahle strana je taky 1. Další věc, kterou víme, je, že tenhle úhel je rozdělený na 3. Víme, jakou velikost má tento úhel. To byl pravý úhel, 90 stupňů. Takže když ho rozdělíme na 3 stejné části, tak víme, že tento úhel je 30 stupňů, tento úhel je 30 stupňů a tento úhel je taky 30 stupňů. A teď vidíme, že řešíme pár 30-60-90 trojúhelníků. Tady je úhel 30 stupňů, tady 90 stupňů, takže tady naproti musí být úhel 60 stupňů. V tomto trojúhelníku jsou úhly 30 stupňů a 90 stupňů, takže ten poslední musí být 60 stupňů, součet musí být 180. 30-60-90 trojúhelník. 30-60-90 trojúhelník. A můžete také vypočítat míry tohoto trojúhelníku, ačkoliv to nebude pravoúhlý trojúhelník. Ale podle toho, co víme o 30-60-90 trojúhelnících - že když máme zadanou jen jednu stranu, můžeme vlastně vypočítat i ty ostatní. Takže například tady máme zadanou nejkratší stranu, stranu naproti úhlu 30 stupňů. Když je strana naproti úhlu 30 stupňů 1, tak strana naproti úhlu 60 stupňů bude odmocnina ze 3 krát nejkratší strana. Takže délka této strany bude odmocnina ze 3. A to je docela užitečné, protože teď jsme vypočítali délku celé základny tohoto obdélníku. Právě jsme použili naši znalost 30-60-90 trojúhelníků. Jestli je vám záhadou, jak jsem na to přišel, tak byste se měli podívat na video o 30-60-90 trojúhelnících. Víme, že v 30-60-90 trojúhelnících jsou strany v poměru 1 ku odmocnina ze 3 ku 2. Takže tahle strana je 1, strana naproti úhlu 30 stupňů, tahle strana bude odmocnina ze 3 krát nejkratší strana a přepona bude 2 krát nejkratší strana. Délka této strany bude tedy 2 krát délka této strany, takže 2 krát 1, což je 2. Je to docela zajímavé. Pojďme zjistit, jestli můžeme udělat něco podobného i s touto stranou. Tahle strana není naproti úhlu 30 stupňů, tahle je naproti úhlu 60 stupňů. Tato strana je naproti úhlu 60 stupňů. Takže ještě jednou, když vynásobíme tuto stranu odmocninou ze 3, měli bychom dostat tuto stranu. Tohle je... Pamatujte, že tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů, takže tahle strana musí být 1/odmocnina ze 3. Napíšu to. 1/odmocnina ze 3. A přišel jsem na to proto, že jakkoliv je tahle strana velká, tak když ji vynásobím odmocninou ze 3, tak bych měl dostat tuto stranu. Měl bych dostat stranu naproti úhlu 60 stupňů. Nebo když vezmu stranu naproti úhlu 60 stupňů a vydělím ji odmocninou ze 3, tak bych měl dostat tu nejkratší stranu, stranu naproti úhlu 30 stupňů. Začnu se stranou naproti úhlu 60 stupňů, vydělím ji odmocninou ze 3 a dostanu tohle. A přepona pak vždy bude dvakrát tak dlouhá než strana naproti úhlu 30 stupňů. Tohle je strana naproti úhlu 30 stupňů, přepona je vždy dvakrát taková. Takže tohle je strana naproti úhlu 30 stupňů, přepona bude vždy dvakrát taková. Bude to 2/odmocnina ze 3. Vedeme si docela dobře. Přišli jsme na obod tohoto vnitřního trojúhelníku. Již jsme přišli na to, že délka jedné strany je 2, přišli jsme na to, že délka další strany je 2/odmocnina ze 3 a nyní musíme přijít jen na délku ED. A můžeme to udělat, protože AD bude stejná jako BC. Víme, že délka celé této strany, teď řešíme obdélník, je odmocnina ze 3. Délka celé této strany je odmocnina ze 3. Když tato část, strana AE, je 1/odmocnina ze 3, tak délka této strany, ED, bude odmocnina ze 3 mínus 1/odmocnina ze 3. Délka této strany mínus délka této strany. A teď už je docela jasné, jak spočítáme obvod. Prostě musíme sečíst tyto délky a zjednodušit výsledek. Takže to bude... Napíšu, že obvod trojúhelníku BED se rovná... Tohle je zkratka pro obvod, nechtělo se mi psát celé slovo. ...se rovná 2/odmocnina ze 3 plus odmocnina ze 3 mínus 1/odmocnina ze 3 plus 2. A teď už se jedná jen o obyčejné zjednodušování odmocnin. Můžete si vzít kalkulačku a vypočítat si přibližné desetinné číslo. Takže... Máme 2/odmocnina ze 3 mínus 1/odmocnina ze 3, takže z toho nám zbyde jenom 1/odmocnina ze 3. 2/odmocnina ze 3 mínus 1/odmocnina ze 3 je 1/odmocnina ze 3, a pak plus odmocnina ze 3 plus 2. Teď se pojďme podívat, jestli to můžu usměrnit, když vynásobím čitatele a jmenovatele odmocninou ze 3. Z toho bych dostal (odmocnina ze 3)/3 plus odmocnina ze 3, což je... Mohu to napsat jako plus (3 krát odmocnina ze 3)/3. Prostě jsem toto vynásobil 3/3. ...plus 2 a z toho dostaneme, teď je očekáváná část... Takže z 1 krát odmocnina ze 3 plus 3 krát odmocnina ze 3, dostaneme 4 krát odmocnina ze 3 lomeno 3, plus 2. 2 můžete napsat před to. Někdo raději píše racionální část před iracionální část. Ale jsme hotovi. Přišli jsme na obvod tohoto vnitřního trojúhelníku BED.
video